《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

12. 若圆$C:x^{2}+y^{2}-2(m - 1)x + 2(m - 1)y + 2m^{2}-6m + 4 = 0$过坐标原点,则实数$m$的值为 （ ）
A. 2或1
B. -2或-1
C. 2
D. 1

答案： C 【解析】若圆$C:x^{2}+y^{2}-2(m - 1)x + 2(m - 1)y + 2m^{2}-6m + 4 = 0$过坐标原点，则有$2m^{2}-6m + 4 = 0$且$4(m - 1)^{2}+4(m - 1)^{2}-4(2m^{2}-6m + 4)＞0$，解得$m = 2$。故选 C。

13. [江西宜春2023高二期中]已知圆$x^{2}+y^{2}-2ax - 2y+(a - 1)^{2}=0(0\lt a\lt1)$,则原点$O$在 （ ）
A. 圆内
B. 圆外
C. 圆上
D. 圆上或圆外

答案： B 【解析】将圆的方程化成标准方程$(x - a)^{2}+(y - 1)^{2}=2a$。因为$0＜a＜1$，所以$(0 - a)^{2}+(0 - 1)^{2}=a^{2}+1＞2a$，即原点$O$在圆外。故选 B。

14. (多选)[山东德州实验中学2024高二期中]已知圆$M$的标准方程为$(x - 4)^{2}+(y + 3)^{2}=25$,则下列说法正确的是 （ ）
A. 圆$M$的圆心为$(4,-3)$
B. 点$(1,0)$在圆内
C. 圆$M$的半径为5
D. 点$(-3,1)$在圆内

答案： ABC 【解析】圆$M:(x - 4)^{2}+(y + 3)^{2}=25$的圆心为$M(4,-3)$，半径为 5，故 A，C 正确；
由$(1 - 4)^{2}+(0 + 3)^{2}=18＜25$，得点$(1,0)$在圆内，故 B 正确；
由$(-3 - 4)^{2}+(1 + 3)^{2}=65＞25$，得点$(-3,1)$在圆外，故 D 错误。故选 ABC。

15. [辽宁抚顺2024高二期中]已知圆$x^{2}+y^{2}-2ax + 4ay + 5a^{2}-9 = 0$上所有点都在第二象限,则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $(-\infty,-3)$
B. $(-\infty,-3]$
C. $[-3,-\frac{3}{2}]$
D. $(-3,-\frac{3}{2})$

答案： A 【解析】由$x^{2}+y^{2}-2ax + 4ay + 5a^{2}-9 = 0$，得$(x - a)^{2}+(y + 2a)^{2}=9$，所以圆心坐标为$(a,-2a)$，半径为 3。
因为圆$x^{2}+y^{2}-2ax + 4ay + 5a^{2}-9 = 0$上所有点都在第二象限，
所以$\begin{cases}a＜0\\-2a＞0\\a＜-3\\-2a＞3\end{cases}$，解得$a＜-3$，故选 A。

16. [河北邢台六校2023高二期中联考]一束光线从点$P(-1,2)$出发,经$x$轴反射到圆$C:x^{2}+y^{2}-8x - 6y + 23 = 0$上的最短距离为 （ ）
A. $4\sqrt{2}$
B. $5\sqrt{2}$
C. $5\sqrt{2}-2$
D. $5\sqrt{2}+2$

答案： A 【解析】由题意，圆$C$的标准方程为$C:(x - 4)^{2}+(y - 3)^{2}=2$，所以圆$C$的圆心坐标为$(4,3)$，半径$r=\sqrt{2}$。又点$P(-1,2)$关于$x$轴的对称点为$Q(-1,-2)$，所以$|CQ|=\sqrt{(4 + 1)^{2}+(3 + 2)^{2}}=5\sqrt{2}$，所以所求最短距离为$5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。故选 A。

17. [山西运城2024高二月考]圆$x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 1 = 0$关于直线$ax - by + 3 = 0(a＞0,b＞0)$对称,则$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}$的最小值是 （ ）
A. $\frac{16}{3}$
B. $\frac{20}{3}$
C. 4
D. $2\sqrt{6}$

答案： A 【解析】由$x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 1 = 0$可得标准方程为$(x + 1)^{2}+(y - 3)^{2}=9$，即圆心为$(-1,3)$。
因为该圆关于直线$ax - by + 3 = 0$对称，则直线经过圆心$(-1,3)$，即$-a-3b + 3 = 0$，整理得$\frac{a}{3}+b = 1(a＞0,b＞0)$。
则$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}=(\frac{a}{3}+b)(\frac{1}{a}+\frac{3}{b})=\frac{1}{3}(1+\frac{3a}{b}+\frac{3b}{a}+9)\geq\frac{1}{3}(10 + 2\sqrt{\frac{3a}{b}\cdot\frac{3b}{a}})=\frac{16}{3}$，当且仅当$\frac{3b}{a}=\frac{3a}{b}$，即$a = b=\frac{3}{4}$时，等号成立。
所以$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}$的最小值是$\frac{16}{3}$。故选 A。

18. 已知点$P(x,y)$是圆$C:x^{2}+y^{2}-2\sqrt{3}y + 2 = 0$上一点,则$|x+\sqrt{3}y + 1|$的取值范围是_______.

答案： $[2,6]$ 【解析】由$x^{2}+y^{2}-2\sqrt{3}y + 2 = 0$，得$x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1$，所以圆心$C(0,\sqrt{3})$，半径为 1。
$|x+\sqrt{3}y + 1|$表示圆上的点到直线$x+\sqrt{3}y + 1 = 0$的距离的 2 倍，因为圆心$C(0,\sqrt{3})$到直线$x+\sqrt{3}y + 1 = 0$的距离为$d=\frac{|3 + 1|}{\sqrt{1 + 3}}=2$，所以圆上的点到直线$x+\sqrt{3}y + 1 = 0$的距离的最小值为 1，最大值为 3，所以$|x+\sqrt{3}y + 1|$的最小值为 2，最大值为 6，所以$|x+\sqrt{3}y + 1|$的取值范围为$[2,6]$。

19. 平面上一动点$P$满足:$|PM|^{2}+|PN|^{2}=6$且$M(-1,0),N(1,0)$,则动点$P$的轨迹方程为 （ ）
A. $(x + 1)^{2}+y^{2}=3$
B. $(x - 1)^{2}+y^{2}=3$
C. $x^{2}+y^{2}=2$
D. $x^{2}+y^{2}=3$

答案： C 【解析】设$P(x,y)$，由$|PM|^{2}+|PN|^{2}=6$，所以$(x + 1)^{2}+y^{2}+(x - 1)^{2}+y^{2}=6$，整理得$x^{2}+y^{2}=2$，即动点$P$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}=2$。

20. 点$A$是圆$x^{2}+y^{2}=4$上的一个动点,点$B(0,4)$,当点$A$在圆上运动时,线段$AB$的中点$P$的轨迹方程为 （ ）
A. $x^{2}+(y - 2)^{2}=1$
B. $x^{2}+(y - 2)^{2}=2$
C. $x^{2}+y^{2}=2$
D. $x^{2}+y^{2}-4y + 4 = 0$

答案： A 【解析】设线段$AB$的中点$P$的坐标为$(x,y)$，则$A(2x,2y - 4)$，因为点$A$在圆$x^{2}+y^{2}=4$上运动，所以$(2x)^{2}+(2y - 4)^{2}=4$，整理得$x^{2}+(y - 2)^{2}=1$，即点$P$的轨迹方程是$x^{2}+(y - 2)^{2}=1$。故选 A。

21. 已知实数$x,y$满足$x^{2}+y^{2}+4x + 3 = 0$,则$(x - 1)^{2}+(y - 4)^{2}$的最大值为__________.

答案： 36 【解析】$x^{2}+y^{2}+4x + 3 = 0$整理为$(x + 2)^{2}+y^{2}=1$，圆心坐标为$(-2,0)$，半径为 1。故$(x - 1)^{2}+(y - 4)^{2}$可以看作圆上一点与点$(1,4)$距离的平方，则最大值为圆心$(-2,0)$与点$(1,4)$的距离加上半径后的平方，故$(x - 1)^{2}+(y - 4)^{2}$的最大值为$(\sqrt{(1 + 2)^{2}+4^{2}}+1)^{2}=36$。

22. [河南南阳一中2024高二月考]若过点$A(a,a)$可作圆$C:x^{2}+y^{2}-2ax + a^{2}+2a - 3 = 0$的两条切线,则实数$a$的取值范围为__________.

答案： $(-\infty,-3)\cup(1,\frac{3}{2})$ 【解析】圆$C$的圆心为$C(a,0)$，半径$r=\sqrt{3 - 2a}$，方程表示圆，则$3 - 2a＞0$，即$a＜\frac{3}{2}$。
由于过点$A(a,a)$可作圆的两条切线，所以点$A$在圆外，即$a^{2}+a^{2}-2a^{2}+a^{2}+2a - 3＞0$，解得$a＞1$或$a＜-3$，综上，实数$a$的取值范围为$(-\infty,-3)\cup(1,\frac{3}{2})$。
【易错警示】用圆的一般方程表示圆容易忽略表示圆的条件，从而导致错误。

23. 已知某曲线上的点到定点$O(0,0)$与到定点$A(a,0)(a\neq0)$的距离的比值为$k$,求此曲线的方程,并判断曲线的形状.

答案： 【解】设点$M(x,y)$是所求曲线上任意一点，由题意得$\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x - a)^{2}+y^{2}}}=k(k＞0)$，化简得$(k^{2}-1)x^{2}+(k^{2}-1)y^{2}-2k^{2}ax + k^{2}a^{2}=0$。当$k\neq1$，即$0＜k＜1$或$k＞1$时，$k^{2}-1\neq0$，
所以$x^{2}+y^{2}+\frac{-2k^{2}a}{k^{2}-1}x+\frac{k^{2}a^{2}}{k^{2}-1}=0$。
因为$\frac{4k^{4}a^{2}}{(k^{2}-1)^{2}}-\frac{4k^{2}a^{2}}{k^{2}-1}=\frac{4k^{2}a^{2}}{(k^{2}-1)^{2}}＞0$，
所以方程$x^{2}+y^{2}+\frac{-2k^{2}a}{k^{2}-1}x+\frac{k^{2}a^{2}}{k^{2}-1}=0$表示以$(\frac{k^{2}a}{k^{2}-1},0)$为圆心，$|\frac{ka}{k^{2}-1}|$为半径的圆。当$k = 1$时，原方程可化为$x=\frac{a}{2}$，即表示线段$OA$的垂直平分线。
【易错警示】解答本题时容易忽略验证$\frac{4k^{4}a^{2}}{(k^{2}-1)^{2}}-\frac{4k^{2}a^{2}}{k^{2}-1}=\frac{4k^{2}a^{2}}{(k^{2}-1)^{2}}＞0$而丢分。解决此类问题时，要注意方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$表示圆的隐含条件$D^{2}+E^{2}-4F＞0$。