《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [山东菏泽2024高二期中]已知点A(2,1)，点B在直线x - y + 3 = 0上，则|AB|的最小值为（ ）
A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{26}$
C. $2\sqrt{2}$
D. 4

答案： C 【解析】因为点A(2,1)不在直线l:x - y + 3 = 0上，所以当AB⊥l时，|AB|最小，故|AB|min = $\frac{|2 - 1 + 3|}{\sqrt{2}}$ = 2$\sqrt{2}$，故选C.

2. [天津耀华中学2024高二月考]已知A(-2,4)，B(-4,6)两点到直线l:ax + y + 1 = 0的距离相等，则a的值为（ ）
A. 1或2
B. 3或4
C. 3
D. 4

答案： A 【解析】由题意可得$\frac{| - 2a + 4 + 1|}{\sqrt{a^{2}+1}}$ = $\frac{| - 4a + 6 + 1|}{\sqrt{a^{2}+1}}$，整理得|2a - 5| = |4a - 7|，则2a - 5 = ±(4a - 7)，解得a = 1或a = 2. 故选A.

3. 点A(5,0)，B(1,-4$\sqrt{3}$)到直线的距离都是4，满足条件的直线有（ ）
A. 一条
B. 两条
C. 三条
D. 四条

答案： C 【解析】因为点A(5,0)，B(1,-4$\sqrt{3}$)，所以由两点间距离公式可得|AB| = $\sqrt{(5 - 1)^{2}+(4\sqrt{3})^{2}}$ = $\sqrt{16 + 48}$ = 8，则点A(5,0)，B(1,-4$\sqrt{3}$)到线段AB的垂直平分线的距离都等于4. 位于直线AB两侧并与直线AB平行且距离为4的直线各有一条，满足点A(5,0)，B(1,-4$\sqrt{3}$)到直线的距离都是4. 综上可知，共有三条直线满足点A(5,0)，B(1,-4$\sqrt{3}$)到直线的距离都是4. 故选C.

4. [江苏宿迁2024高二期中]已知点P到直线l₁:x - y - 4 = 0和直线l₂:x - y - 2 = 0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为（ ）
A. 3$\sqrt{2}$
B. 2
C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D. 4

答案： C 【解析】因为直线l1:x - y - 4 = 0和直线l2:x - y - 2 = 0平行，且点P到两直线的距离相等，所以点P在直线l:x - y - 3 = 0上. 当OP⊥l时，点P到坐标原点的距离最小，为$\frac{| - 3|}{\sqrt{1^{2}+( - 1)^{2}}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故选C.

5. [山东青岛九中2024高二月考]直线l过点(4,0)，若点(1,2)到直线l的距离为3，则直线l的方程为________.

答案： x = 4或5x - 12y - 20 = 0 【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x = 4，此时点(1,2)到直线l的距离为3，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = k(x - 4)，即kx - y - 4k = 0，所以此时点(1,2)到直线l的距离为$\frac{|k - 2 - 4k|}{\sqrt{k^{2}+1}}$ = 3，解得k = $\frac{5}{12}$，所以直线l的方程为$\frac{5}{12}$x - y - $\frac{5}{3}$ = 0，即5x - 12y - 20 = 0. 综上所述，直线l的方程为x = 4或5x - 12y - 20 = 0.

6. 两平行直线3x - 2y - 1 = 0和6x - 4y + 3 = 0间的距离是（ ）
A. $\frac{5\sqrt{13}}{26}$
B. $\frac{4\sqrt{13}}{13}$
C. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
D. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

答案： A 【解析】直线3x - 2y - 1 = 0即为6x - 4y - 2 = 0，所以两平行直线6x - 4y - 2 = 0和6x - 4y + 3 = 0间的距离d = $\frac{| - 2 - 3|}{\sqrt{6^{2}+( - 4)^{2}}}$ = $\frac{5\sqrt{13}}{26}$. 故选A.

7. [广东东莞七校2024高二期中联考]如果直线2x + (m + 1)y - 2 = 0与直线mx + 3y - 2 = 0平行，那么这两条平行直线之间的距离是（ ）
A. 0
B. $\frac{5\sqrt{2}}{6}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{6}$
D. $\frac{5}{3}$

答案： B 【解析】由题意得2×3 - m(m + 1) = 0且2×( - 2) - ( - 2)×m≠0，解得m = - 3，则两直线方程分别为2x - 2y - 2 = 0，- 3x + 3y - 2 = 0，即x - y - 1 = 0，x - y + $\frac{2}{3}$ = 0. 故这两条平行直线之间的距离为$\frac{| - 1 - \frac{2}{3}|}{\sqrt{1 + 1}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{6}$. 故选B.

8. [河南商丘2024高二期中]已知直线x + 3y + λ = 0与直线2x + 6y + 1 = 0间的距离为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，则λ =（ ）
A. -$\frac{9}{2}$或$\frac{11}{2}$
B. -9
C. -9或11
D. 6或-4

答案： A 【解析】直线x + 3y + λ = 0可化为2x + 6y + 2λ = 0，所以$\frac{|2λ - 1|}{\sqrt{2^{2}+6^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得λ = - $\frac{9}{2}$或λ = $\frac{11}{2}$. 故选A.

9. [四川成都2024高二期末]已知直线l₁:2x - (a - 1)y - 2 = 0，l₂:(a + 2)x + (2a + 1)y + 3 = 0(a ∈ R).
(1)若l₁⊥l₂，求实数a的值；
(2)若l₁//l₂，求l₁，l₂之间的距离.

答案： 【解】
(1)由l1⊥l2，得2(a + 2) - (a - 1)·(2a + 1) = 0，即2a² - 3a - 5 = 0，所以(2a - 5)(a + 1) = 0，解得a = - 1或$\frac{5}{2}$.
(2)由l1//l2，得2(2a + 1) = - (a - 1)(a + 2)，即a² + 5a = 0，解得a = 0或a = - 5. 当a = 0时，l1:2x + y - 2 = 0，l2:2x + y + 3 = 0，则l1，l2之间的距离为$\frac{|3 - ( - 2)|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}$ = $\sqrt{5}$；当a = - 5时，l1:x + 3y - 1 = 0，l2:x + 3y - 1 = 0，此时两直线重合，舍去. 综上，若l1//l2，则l1，l2之间的距离为$\sqrt{5}$.

10. 直线l₁过点A(0,1)，l₂过点B(5,0)，若l₁//l₂，且l₁与l₂间的距离为5，则l₁与l₂的方程分别是________，________.

答案： l1:12x - 5y + 5 = 0，l2:12x - 5y - 60 = 0或l1:x = 0，l2:x = 5 【解析】若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x = 0，l2的方程为x = 5，它们之间的距离为5，符合题意. 若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，则l1的方程为y = kx + 1，即kx - y + 1 = 0，l2的方程为y = k(x - 5)，即kx - y - 5k = 0. 因为直线l1与直线l2间的距离d = $\frac{|1 - ( - 5k)|}{\sqrt{k^{2}+( - 1)^{2}}}$ = 5，解得k = $\frac{12}{5}$，所以l1的方程为12x - 5y + 5 = 0，l2的方程为12x - 5y - 60 = 0. 综上所述，符合题意的直线方程有两组，l1:12x - 5y + 5 = 0，l2:12x - 5y - 60 = 0或l1:x = 0，l2:x = 5.

11. 一直线过点P(2,0)，且点Q(-2,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$)到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________.

答案： 90°或30° 【解析】当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°. 当过点P的直线不垂直于x轴时，可设直线的斜率为k，则过点P的直线方程为y = k(x - 2)，即kx - y - 2k = 0. 由点Q到该直线的距离d = $\frac{| - 2k - \frac{4\sqrt{3}}{3}-2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}$ = 4，解得k = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时直线的倾斜角为30°. 综上，该直线的倾斜角为90°或30°.