《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

10. 过双曲线$2x^{2}-y^{2}=8$的右焦点$F$且弦长为8的直线有_________条.

答案： $3$【解析】双曲线$2x^{2}-y^{2}=8$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$，右焦点$F(2\sqrt{3},0)$.
设直线与双曲线交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点，
当直线$AB$斜率不存在时，直线$AB$的方程为$x = 2\sqrt{3}$，
令$x = 2\sqrt{3}$，则$\frac{12}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$，得$y=\pm4$，此时弦长为$8$，符合要求.
当直线$AB$斜率存在时，设直线$AB$的方程为$y = k(x - 2\sqrt{3})$，
联立$\begin{cases}y = k(x - 2\sqrt{3})\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1\end{cases}$可得$(2 - k^{2})x^{2}+4\sqrt{3}k^{2}x - 12k^{2}-8 = 0$，则
$\begin{cases}\Delta=(4\sqrt{3}k^{2})^{2}+4(12k^{2}+8)(2 - k^{2})＞0\\2 - k^{2}\neq0\end{cases}$，
解得$k^{2}\neq2$.
则$x_{1}+x_{2}=-\frac{4\sqrt{3}k^{2}}{2 - k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{12k^{2}+8}{2 - k^{2}}$，
$\therefore|AB|=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(-\frac{4\sqrt{3}k^{2}}{2 - k^{2}})^{2}+4\times\frac{12k^{2}+8}{2 - k^{2}}}=\frac{8(1 + k^{2})}{|2 - k^{2}|}=8$，解得$k=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，满足条件.
综上，总共有三条直线符合要求.

11. [湖南长沙2024高二月考]已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的一条渐近线与直线$x + 2y = 0$垂直，且右顶点$A$到该条渐近线的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
(1)求双曲线$C$的方程；
(2)过点$(2,0)$作直线交抛物线$C$于点$A$，$B$，求$\triangle ABO$面积的最小值(其中$O$为坐标原点).

答案： 【解】
(1)因为双曲线$C$的一条渐近线与直线$x + 2y = 0$垂直，且直线$x + 2y = 0$的斜率为$-\frac{1}{2}$，所以$-\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}=-1$，可得$\frac{b}{a}=2$，
所以双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm2x$，即$2x\pm y = 0$.
因为右顶点$A(a,0)$到渐近线$2x - y = 0$的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以$\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得$a = 1$，所以$b = 2$，所以双曲线$C$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$.
(2)若直线$l\perp x$轴，则$B$，$D$关于$x$轴对称，此时线段$BD$的中点在$x$轴上，不符合题意.
设直线$l$的斜率为$k$，$B(x_{1},y_{1})$，$D(x_{2},y_{2})$，则$\begin{cases}x_{1}^{2}-\frac{y_{1}^{2}}{4}=1\\x_{2}^{2}-\frac{y_{2}^{2}}{4}=1\end{cases}$，
两式相减可得$(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})-\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{4}=0$，所以$(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})-\frac{(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})}{4}=0$，
化简得$\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}\cdot\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=4$.
因为线段$BD$的中点为$M(3,2)$，所以$x_{1}+x_{2}=6$，$y_{1}+y_{2}=4$，
所以$\frac{4}{6}\cdot k = 4$，解得$k = 6$，双曲线的渐近线方程为$y=\pm2x$，直线的斜率大于渐近线$y = 2x$的斜率，
故过点$M(3,2)$的直线与双曲线有两个交点，所以直线$l$的方程为$y - 2 = 6(x - 3)$，即$6x - y - 16 = 0$.

12.教材变式 过点(1,0)作斜率为 - 2的直线，与抛物线y² = 8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.2√13
B.2√15
C.2√17
D.2√19

答案： B 【解析】设$A$，$B$两点的坐标分别为$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$. 由直线$AB$的斜率为$-2$，且过点$(1,0)$得直线$AB$的方程为$y=-2(x - 1)$，与抛物线方程$y^{2}=8x$联立，得$4(x - 1)^{2}=8x$，整理得$x^{2}-4x + 1 = 0$，则$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=1$，所以$|AB|=\sqrt{5}\times\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{5}\times\sqrt{16 - 4}=2\sqrt{15}$. 

13.[陕西渭南2024高二期中]已知抛物线y² = 2px(p ＞ 0)的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足|BF| = 2|AF|，则钝角∠AFB = ( )
A.7π/12
B.2π/3
C.3π/4
D.5π/6

答案：
 D 【解析】由题知，抛物线的焦点为$F(\frac{p}{2},0)$，准线方程为$x=-\frac{p}{2}$. 因为点$A$在$F$的正上方，所以点$A$的坐标为$(\frac{p}{2},p)$. 因为$\angle AFB$为钝角，则点$B$在$x$轴下方， 所以$x_{B}+\frac{p}{2}=|BF|=2|AF|=2p$，解得$x_{B}=\frac{3}{2}p$，即点$B$的坐标为$(\frac{3p}{2},\sqrt{3}p)$（舍去）或$(\frac{3p}{2},-\sqrt{3}p)$. 因为直线$BF$的斜率$k_{BF}=\frac{-\sqrt{3}p}{\frac{3p}{2}-\frac{p}{2}}=-\sqrt{3}$，所以直线$BF$的倾斜角为$\frac{2\pi}{3}$，故钝角$\angle AFB=\frac{\pi}{2}+\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}$. 故选 D.

14.若抛物线x² = 4y的弦被点A(2,2)平分，则此弦所在直线的斜率为_______.

答案： $1$【解析】设过点$A$的弦的端点为$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$. 由题意知直线$MN$的斜率存在，则$\begin{cases}x_{1}^{2}=4y_{1}\\x_{2}^{2}=4y_{2}\end{cases}$，两式作差可得$(x_{1}+x_{2})\cdot(x_{1}-x_{2})=4(y_{1}-y_{2})$，因此直线$MN$的斜率为$\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{4}=1$.

15.[江西九江一中2024高二期中]已知抛物线C:y² = 2px(p ＞ 0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为3，且点P到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；

答案： 【解】
(1)由题意知$F(\frac{p}{2},0)$，准线方程为$x=-\frac{p}{2}$. 由抛物线定义可知点$P$到焦点$F$的距离即为点$P$到准线的距离， 所以$3+\frac{1}{2}p=5$，解得$p = 4$， 所以抛物线方程为$y^{2}=8x$.
(2)由
(1)知，抛物线$C:y^{2}=8x$，直线$AB$过点$(2,0)$， 可设直线$AB$的方程为$x = ty + 2$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，不妨设$y_{1}>0$， 联立$\begin{cases}y^{2}=8x\\x = ty + 2\end{cases}$，消$x$得$y^{2}-8ty - 16 = 0$，所以$y_{1}y_{2}=-16$，则$y_{2}=\frac{-16}{y_{1}}$， 所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times2\times|y_{1}-y_{2}|=\left|y_{1}-\frac{-16}{y_{1}}\right|=y_{1}+\frac{16}{y_{1}}\geq2\sqrt{16}=8$，当且仅当$y_{1}=\frac{16}{y_{1}}$，即$y_{1}=4$时取等号， 所以$S_{\triangle AOB}$的最小值为$8$. 【规律方法】设$AB$是过抛物线$y^{2}=2px(p>0)$焦点$F$的一条弦，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$y_{1}y_{2}=-p^{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4}$.

16.[辽宁沈阳东北育才外国语学校2024高二期中]已知双曲线E的两个焦点分别为F₁(-2,0)，F₂(2,0)，并且E经过点P(2,3).
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点M(0,1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.

答案：
【解】
(1)由已知可设双曲线E的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$，
则有$\begin{cases}c = 2,\\\frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}} = 1,\\c^{2}=a^{2}+b^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a^{2}=1,\\b^{2}=3\end{cases}$，
所以双曲线E的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$.
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，所以可设直线l的方程为$y = kx + 1$，如图，

联立$\begin{cases}y = kx + 1,\\x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}$，得$(3 - k^{2})x^{2}-2kx - 4 = 0(*)$，
①当$3 - k^{2}=0$，即$k=\sqrt{3}$或$k = -\sqrt{3}$时，方程(*)只有一解，
所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为$y=\pm\sqrt{3}x + 1$；
②当$3 - k^{2}\neq0$，即$k\neq\pm\sqrt{3}$时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，
则$\Delta=(-2k)^{2}-4(3 - k^{2})(-4)=0$，解得$k=\pm2$，
此时，直线l的方程为$y=\pm2x + 1$.
综上所述，直线l的方程为$y=\pm\sqrt{3}x + 1$或$y=\pm2x + 1$.
【易错警示】直线与双曲线有一个交点，有两种情况，一是直线与双曲线的渐近线平行；二是直线与双曲线的一支相切，对应的方程的根的情况不同，注意分情况讨论.

17.过点(2,4)作直线与抛物线y² = 8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

答案： B【解析】由题意知，点$(2,4)$在抛物线$y^{2}=8x$上，所以过点$(2,4)$作与抛物线$y^{2}=8x$只有一个公共点的直线有2条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行.

18.设直线l₁:y = 2x，直线l₂经过点P(2,1)，抛物线C:y² = 4x，已知直线l₁，l₂与抛物线C共有三个交点，则满足条件的直线l₂的条数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C【解析】
∵点$P(2,1)$在抛物线内部，且直线$l_{1}$与抛物线C有两个交点，设相交于A，B两点，
∴当过点P的直线$l_{2}$过点A或过点B或与x轴平行时符合题意.
∴满足条件的直线$l_{2}$共有3条.
【易错警示】以上两题中，若忽略判定“点与抛物线的位置关系”，则易导致错解.解题时，应注意点是在抛物线上，还是在抛物线内或者在抛物线外，根据不同的情况，判断直线与抛物线的位置关系.

19.已知抛物线y = x²上存在两个不同的点M，N关于直线y = kx + 9/2对称，则实数k的取值范围为_______.

答案： $(-\infty,-\frac{1}{4})\cup(\frac{1}{4},+\infty)$
【解析】设$M(x_{1},x_{1}^{2}),N(x_{2},x_{2}^{2})$关于直线$y = kx+\frac{9}{2}$对称，$\therefore k\neq0$，
$\therefore\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{k}$，即$x_{1}+x_{2}=-\frac{1}{k}$.设线段MN的中点为$P(x_{0},y_{0})$，则$x_{0}=-\frac{1}{2k},y_{0}=k\times(-\frac{1}{2k})+\frac{9}{2}=4$.
∵中点P在$y = x^{2}$内，$\therefore4＞(-\frac{1}{2k})^{2}$，解得$k＜-\frac{1}{4}$或$k＞\frac{1}{4}$.
【易错警示】由抛物线的形状易知抛物线上的任意两点连线的中点在抛物线内，若忽略条件“中点在抛物线内部”，则难以求解.