《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [山东潍坊2023高二期中]直线$l_1$,$l_2$的斜率是方程$x^{2}-mx - 1 = 0$的两个根，则（ ）
A. $l_1// l_2$
B. $l_1\perp l_2$
C. $l_1$与$l_2$相交但不垂直
D. $l_1$与$l_2$的位置关系不确定

答案： B 【解析】设直线$l_1$,$l_2$的斜率分别是$k_1$,$k_2$,依题意得$k_1\cdot k_2 = - 1$,所以$l_1\perp l_2$. 故选 B.

2. [山东青岛2024高二期中]已知直线$l$经过点$A(0,4)$，且与直线$2x - y - 3 = 0$垂直，则直线$l$的方程是（ ）
A. $2x - y + 4 = 0$
B. $x + 2y + 8 = 0$
C. $2x - y - 4 = 0$
D. $x + 2y - 8 = 0$

答案： D 【解析】因为直线$2x - y - 3 = 0$的斜率为 2,直线$l$与该直线垂直,所以直线$l$的斜率$k=-\frac{1}{2}$.
又直线$l$经过点$A(0,4)$,所以直线$l$的方程为$y - 4 = -\frac{1}{2}x$,即$x + 2y - 8 = 0$. 故选 D.

3. [北京师范大学附属实验中学2023高二期中]点$(-1,2)$关于直线$x + y + 4 = 0$的对称点的坐标为（ ）
A. $(-6,-3)$
B. $(-3,-6)$
C. $(-7,-2)$
D. $(-2,-7)$

答案： A 【解析】设点$(-1,2)$关于直线$x + y + 4 = 0$对称的点为$(x_0,y_0)$. 直线$x + y + 4 = 0$的斜率为 - 1,由对称关系知两点连线的直线与直线$x + y + 4 = 0$垂直,所以$\frac{y_0 - 2}{x_0 + 1}=1$.
又因为两点连线的线段的中点$(\frac{x_0 - 1}{2},\frac{y_0 + 2}{2})$在直线$x + y + 4 = 0$上,所以$\frac{x_0 - 1}{2}+\frac{y_0 + 2}{2}+4 = 0$,解得$x_0 = - 6$,$y_0 = - 3$,所以对称点为$(-6,-3)$. 故选 A.

4. [黑龙江哈师大附中2024高二月考]将一张坐标纸折叠一次，使得点$(-3,4)$与点$(-4,a)$重合，点$(-1,2)$与点$(-2,\frac{b}{2})$重合，则$a - b=$（ ）
A. -2
B. -1
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

答案： D
【思路导引】
求出$(-3,4)$与$(-4,a)$的对称轴→求出$(-1,2)$与$(-2,\frac{b}{2})$的对称轴→两直线重合→求参数
【解析】假设折痕所在直线的斜率不存在,由点$(-3,4)$与点$(-4,a)$重合可得折痕所在直线的方程为$x = -\frac{7}{2}$;由点$(-1,2)$与点$(-2,\frac{b}{2})$重合可得折痕所在直线的方程为$x = -\frac{3}{2}$,矛盾,故舍去.
由点$(-3,4)$与点$(-4,a)$重合可得折痕所在直线的斜率不为 0,且点$(-3,4)$与点$(-4,a)$关于折痕对称,两点确定的直线斜率为$\frac{4 - a}{-3 - (-4)} = 4 - a$,则折痕所在直线的斜率为$\frac{1}{a - 4}$,又两点的中点坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{4 + a}{2})$,所以折痕所在直线的方程为$y-\frac{4 + a}{2}=\frac{1}{a - 4}(x+\frac{7}{2})$,即$y=\frac{x}{a - 4}+\frac{7}{2(a - 4)}+\frac{4 + a}{2}$.
同理由点$(-1,2)$与点$(-2,\frac{b}{2})$确定的直线斜率为$\frac{2-\frac{b}{2}}{-1 - (-2)} = 2-\frac{b}{2}$,则折痕所在直线的斜率为$\frac{1}{\frac{b}{2}-2}$,又两点的中点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{2 + \frac{b}{2}}{2})$,所以折痕所在直线的方程为$y-\frac{2+\frac{b}{2}}{2}=\frac{1}{\frac{b}{2}-2}(x+\frac{3}{2})$,即$y=\frac{2x}{b - 4}+\frac{3}{b - 4}+\frac{4 + b}{4}$.
则$\begin{cases}\frac{2}{b - 4}=\frac{1}{a - 4},\\\frac{3}{b - 4}+\frac{4 + b}{4}=\frac{7}{2(a - 4)}+\frac{4 + a}{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 3,\\b = 2.\end{cases}$所以$a - b = 1$. 故选 D.
【特别注意】设直线方程时先考虑斜率不存在的情况是否满足题意.

5. [福建厦门一中2024高二月考]将直线$l$向右平移1个单位长度，再向下平移$\sqrt{3}$个单位长度，得到的直线与$l$重合，则直线$l$的倾斜角为_______.

答案： $120^{\circ}$ 【解析】显然直线$l$不垂直于坐标轴,设直线$l$的方程为$y = kx + b$,于是得平移后的直线方程为$y = k(x - 1)+b-\sqrt{3}$,即$y = kx + b - k-\sqrt{3}$. 依题意,得$b - k-\sqrt{3}=b$,解得$k = -\sqrt{3}$,所以直线$l$的斜率为$-\sqrt{3}$,倾斜角为$120^{\circ}$.

6. [安徽部分学校2024高二月考]已知三条直线$2x + y - 4 = 0$,$kx - y + 3 = 0$,$x - y - 2 = 0$交于一点，则实数$k=$（ ）
A. -1
B. 1
C. $-\frac{3}{2}$
D. $\frac{1}{4}$

答案： C 【解析】由$\begin{cases}2x + y - 4 = 0,\\x - y - 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 0,\end{cases}$即两直线交点坐标为$(2,0)$,代入$kx - y + 3 = 0$中得$2k - 0 + 3 = 0$,解得$k = -\frac{3}{2}$. 故选 C.

7. [广东东莞2024高二期中]若直线$l_1:ax + y - 4 = 0$与直线$l_2:x - y - 2 = 0$的交点位于第一象限，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(-1,2)$
B. $(-1,+\infty)$
C. $(-\infty,2)$
D. $(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$

答案： A 【解析】由直线$l_1$与直线$l_2$相交,可得$a\times(-1)-1\times1\neq0$,即$a\neq - 1$.
联立两直线方程得$\begin{cases}ax + y - 4 = 0,\\x - y - 2 = 0\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{6}{a + 1},\\y=\frac{4 - 2a}{a + 1}.\end{cases}$由题意知$\begin{cases}\frac{6}{a + 1}＞0,\\\frac{4 - 2a}{a + 1}＞0,\end{cases}$解得$-1 ＜ a ＜ 2$,即实数$a$的取值范围为$(-1,2)$. 故选 A.

8. [天津北辰区2024高二期中]直线$l$被两条直线$l_1:4x + y + 3 = 0$和$l_2:3x - 5y - 5 = 0$截得的线段的中点为$P(-1,2)$，则直线$l$的方程为________.

答案： $3x + y + 1 = 0$ 【解析】设直线$l$与$l_1$的交点为$A(x_0,y_0)$. 由已知条件,得直线$l$与$l_2$的交点为$B(-2 - x_0,4 - y_0)$. 联立$\begin{cases}4x_0 + y_0 + 3 = 0,\\3(-2 - x_0)-5(4 - y_0)-5 = 0,\end{cases}$即$\begin{cases}4x_0 + y_0 + 3 = 0,\\3x_0 - 5y_0 + 31 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_0 = - 2,\\y_0 = 5,\end{cases}$即$A(-2,5)$,所以直线$l$的方程为$\frac{y - 2}{5 - 2}=\frac{x - (-1)}{-2 - (-1)}$,即$3x + y + 1 = 0$.

9. 已知两点$A(-2,1)$,$B(4,3)$，两直线$l_1:2x - 3y - 1 = 0$,$l_2:x - y - 1 = 0$，求：
(1)过点$A$且与直线$l_1$平行的直线方程；
(2)过线段$AB$的中点以及直线$l_1$与$l_2$的交点的直线方程.

答案： 【解】
(1)设与直线$l:2x - 3y - 1 = 0$平行的直线方程是$2x - 3y + c = 0(c\neq - 1)$,将点$A(-2,1)$的坐标代入,得$-4 - 3 + c = 0$,解得$c = 7$,$\therefore$所求直线方程是$2x - 3y + 7 = 0$.
(2)设线段$AB$的中点为$M$.
$\because A(-2,1)$,$B(4,3)$,$\therefore M(1,2)$.
设直线$l_1$,$l_2$的交点为$N$,
联立$\begin{cases}2x - 3y - 1 = 0,\\x - y - 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$
$\therefore N(2,1)$,则$k_{MN}=\frac{2 - 1}{1 - 2}=-1$,
$\therefore$所求直线的方程为$y - 2 = -(x - 1)$,即$x + y - 3 = 0$.

10. 已知等腰直角三角形$ABC$的直角边$AC$所在直线方程为$3x - 5y + 4 = 0$，则斜边$AB$所在直线的斜率为（ ）
A. $-\frac{1}{2}$或2
B. $-\frac{1}{3}$或3
C. $-\frac{1}{4}$或4
D. $-\frac{1}{5}$或5

答案： C 【解析】因为等腰直角三角形$ABC$的直角边$AC$所在直线方程为$3x - 5y + 4 = 0$,所以$AC$所在直线的斜率为$\frac{3}{5}$,即$k_1=\frac{3}{5}$,设直线$AC$的倾斜角为$\alpha$,则$\tan\alpha=\frac{3}{5}＜1$.
因为斜边与直角边的倾斜角相差$45^{\circ}$,所以斜边的倾斜角为$\alpha + 45^{\circ}$或$135^{\circ}+\alpha$,所以$\tan(\alpha + 45^{\circ})=\frac{\tan\alpha + 1}{1 - \tan\alpha}=\frac{\frac{3}{5}+1}{1-\frac{3}{5}} = 4$,$\tan(135^{\circ}+\alpha)=\tan(\alpha - 45^{\circ})=\frac{\tan\alpha - 1}{1 + \tan\alpha}=\frac{\frac{3}{5}-1}{1+\frac{3}{5}}=-\frac{1}{4}$,所以斜边$AB$所在直线的斜率为$-\frac{1}{4}$或 4.
故选 C.
【易错警示】本题只给了直角边所在直线的方程,注意考虑斜边在直角边两侧的两种情况对应的斜率不同.

11. 若直线$l_1:ax + 3y + 1 = 0$与$l_2:2x + (a + 1)y + 1 = 0$互相平行，则实数$a$的值是（ ）
A. -3
B. 2
C. -3或2
D. 3或-2

答案： A 【解析】因为直线$l_1:ax + 3y + 1 = 0$与$l_2:2x+(a + 1)y + 1 = 0$互相平行,所以$a(a + 1)=2\times3$,即$a^2 + a - 6 = 0$,解得$a = - 3$或$a = 2$.
当$a = - 3$时,直线$l_1:3x - 3y - 1 = 0$,$l_2:2x - 2y + 1 = 0$,互相平行;
当$a = 2$时,直线$l_1:2x + 3y + 1 = 0$,$l_2:2x + 3y + 1 = 0$,$l_1$与$l_2$重合,不符合题意. 所以$a = - 3$. 故选 A.
【易错警示】本题注意检查两直线重合的情况.
一般地,设直线$l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0(A_1,B_1$不同时为 0$)$,$l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0(A_2,B_2$不同时为 0$)$.$l_1// l_2\Leftrightarrow A_1B_2 - A_2B_1 = 0$,且$B_1C_2 - B_2C_1\neq0$(或$A_1C_2 - A_2C_1\neq0$).$l_1\perp l_2\Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. 利用上述方法可避免斜率存在和不存在两种情况的讨论,可以减少因考虑不周而造成的失误.

12. (多选)[陕西西安2024高二月考]已知三条直线$2x - 3y + 1 = 0$,$4x + 3y + 5 = 0$,$mx - y - 1 = 0$不能构成三角形，则实数$m$的取值可以是（ ）
A. $-\frac{4}{3}$
B. $-\frac{2}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. 2

答案： ABC 【解析】由已知,设$l_1:2x - 3y + 1 = 0$,$l_2:4x + 3y + 5 = 0$,$l_3:mx - y - 1 = 0$.
由$\begin{cases}2x - 3y + 1 = 0,\\4x + 3y + 5 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 1,\\y = -\frac{1}{3},\end{cases}$可知直线$l_1$,$l_2$相交于点$A(-1,-\frac{1}{3})$.
直线$l_3:mx - y - 1 = 0$恒过定点$B(0,-1)$,
因为三条直线不能构成三角形,所以$l_1// l_3$或$l_2// l_3$或$l_3$经过点$A(-1,-\frac{1}{3})$.
①当$l_1// l_3$时,由$2\times(-1)=-3m$,解得$m=\frac{2}{3}$,此时$l_1$与$l_3$不重合,满足题意;
②当$l_2// l_3$时,由$4\times(-1)=3m$,解得$m = -\frac{4}{3}$,此时$l_2$与$l_3$不重合,满足题意;
③当$l_3$经过点$A(-1,-\frac{1}{3})$时,$-m+\frac{1}{3}-1 = 0$,解得$m = -\frac{2}{3}$.
所以实数$m$的取值集合为$\{-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{4}{3}\}$. 故选 ABC.
【易错警示】根据三条直线不能围成三角形可分为:至少有两条直线互相平行或三条直线相交于同一个点求解,容易忽略其中的一种或者多种情况. 解决此类问题时,一定要考虑全面,必要时可画图,数形结合帮助理解.