《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

12. [北京昌平区2024高二期末]数学中有许多形状优美的曲线，曲线E:|x|+|y|+$x^{2}y^{2}=3$就是其中之一. 给出下列四个结论：
①曲线E关于坐标原点对称；
②曲线E上任意一点到原点的距离的最小值为2；
③曲线E恰好经过8个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
④曲线E所围成的区域的面积大于8.
其中所有正确结论的序号是_______.

答案： ①③④ 【解析】对①:将点(-x,-y)的坐标代入方程,可得|-x| + |-y| + (-x)²(-y)² = |x| + |y| + x²y² = 3,所以曲线E关于坐标原点对称,故①正确.
对②:令x = 1,则|y| = 1,故点(1,1)在曲线E上,该点到原点的距离为√2＜2,故②错误.
对③:由|y|≥0,x²y²≥0,得|x|≤3,
令x = 0,有0 + |y| + 0 = 3,解得y = ±3,
令x = ±1,则1 + |y| + y² = 3, 解得y = ±1,令x = ±2,则2 + |y| + 4y² = 3,此时|y|不为整数,令x = ±3,则3 + |y| + 9y² = 3,解得y = 0,
故曲线E恰好经过整点(0,±3),(1,±1),(-1,±1),(±3,0),共8个整点,故③正确.
对④:将点(-x,y)的坐标代入,可得|-x| + |y| + (-x)²y² = |x| + |y| + x²y² = 3,故曲线E关于y轴对称,令点(x,y)在曲线E上,且该点在第一象限,则x＞0,y＞0,则有x + y + x²y² = 3,故x + y = 3 - x²y²,
令x + y = t＞0, 则t = x + y≥2√(xy),即x²y²≤t⁴/16,
当且仅当x = y = 1时,等号成立,
故有x + y = 3 - x²y² = t≥3 - t⁴/16,整理得t⁴ + 16t - 48≥0,
因式分解可得(t - 2)(t³ + 2t² + 4t + 24)≥0.
由t＞0,得t³ + 2t² + 4t + 24＞0,故有t - 2≥0,
即t≥2,即x + y≥2,当且仅当x = y = 1时,等号成立,
故第一象限内,除点(1,1)在直线x + y - 2 = 0上外,曲线E上的点(x,y)恒在直线x + y - 2 = 0的上方.
直线x + y - 2 = 0与坐标轴的交点为(2,0),(0,2),
则直线x + y - 2 = 0与坐标轴围成的面积S = 1/2×2×2 = 2,
则曲线E在第一象限的部分与坐标轴围成的面积大于S,
由曲线E关于坐标原点对称且关于y轴对称,
故曲线E所围成的区域的面积大于4S = 8,故④正确.
综上,正确结论的序号为①③④.

13. 已知方程$x^{2}(x^{2}-1)=y^{2}(y^{2}-1)$所表示的曲线为C. 若点$M(m,\sqrt{2})$与点$N(\frac{\sqrt{3}}{2},n)$在曲线C上，求m，n的值.

答案： 【解】将点M(m,√2)与点N(√3/2,n)的坐标分别代入方程x²(x² - 1)=y²(y² - 1),得m²(m² - 1)=2×1,3/4×(-1/4)=n²(n² - 1),解得m = ±√2,n = ±1/2或±√3/2.

14. [安徽安庆2024高二月考]如图，已知圆M:$x^{2}-4x + y^{2}+3 = 0$，点P(-1,t)为直线l:x = -1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；
(2)求线段AB中点的轨迹方程.

答案：
【解】
(1)因为PA,PB为圆M的切线,连接AM,BM,PM,如图所示,所以∠PBM = ∠PAM = 90°.

设PM的中点为N,所以点A,B在以PM为直径的圆N上,又点A,B在圆M上,所以线段AB为圆N和圆M的公共弦.
因为圆M:x² - 4x + y² + 3 = 0①,
所以M(2,0),|PM| = √(9 + t²),线段PM的中点N(1/2,t/2),则圆N:(x - 1/2)² + (y - t/2)² = (9 + t²)/4,
整理得x² - x + y² - ty - 2 = 0②.
② - ①得直线AB的方程为3x - ty - 5 = 0,所以(3x - 5)-ty = 0,所以直线AB过定点(5/3,0).
(2)因为直线AB过定点H(5/3,0),线段AB的中点为直线AB与直线MP的交点,设AB的中点为F,由HF始终垂直于FM,得点F的轨迹为以HM为直径的圆.
当点P在x轴上时,点F与点H重合,点M不可能为线段AB的中点,则点F与点M不可能重合.
由H(5/3,0),M(2,0),得HM的中点坐标为(11/6,0),|HM| = 2 - 5/3 = 1/3,所以点F的轨迹是以(11/6,0)为圆心,1/6为半径的圆去掉点M,所以点F的轨迹方程为(x - 11/6)² + y² = 1/36(x≠2).

15. 已知曲线C上任意一点到点A(1,-2)的距离与到点B(2,-4)的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P(1,-3)，过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于E，F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段EF长的最大值.

答案： 【解】
(1)设曲线C上的任意一点为Q(x,y),
由题意得√((x - 1)² + (y + 2)²)/√((x - 2)² + (y + 4)²)=√2/2,
整理得x² + y² = 10,
即曲线C的方程为x² + y² = 10.
(2)由题意知,直线PE和直线PF的斜率存在,且互为相反数.
因为点P(1,-3),故可设直线PE的方程为y + 3 = k(x - 1).
由{y + 3 = k(x - 1),x² + y² = 10,消去y得(1 + k²)·x² - 2k(k + 3)x + k² + 6k - 1 = 0.
因为P(1,-3)在圆x² + y² = 10上,所以点P的横坐标x = 1一定是该方程的解,故可得x_E=(k² + 6k - 1)/(1 + k²),
同理,x_F=(k² - 6k - 1)/(1 + k²),
所以k_EF=(y_E - y_F)/(x_E - x_F)
=(k(x_E - 1)-3 + k(x_F - 1)+3)/(x_E - x_F)
=(-2k + k(x_E + x_F))/(x_E - x_F)= -1/3,
故直线EF的斜率为定值-1/3,
设直线EF的方程为y = -1/3x + b,
则圆C的圆心到直线EF的距离d = |-3b|/√(1 + 9),
所以|EF| = 2√(10 - d²)=1/5√(1000 - 90b²)(-10/3＜b＜10/3),
所以当b = 0时,|EF|_max = 2√10.

16. [清华大学2022强基计划]已知曲线C:$(x^{2}+y^{2})^{3}=16x^{2}y^{2}$，则下列说法错误的是 （ ）
A. 曲线C仅过(0,0)一个整点
B. 曲线C上的点距原点最大距离为2
C. 曲线C围成的图形面积大于4π
D. 曲线C为轴对称图形

答案： 16. C 【解析】设曲线C:f(x,y),则f(x,y)=f(-x,y)=f(x,-y),D正确;
(x² + y²)³ = 16x²y²≤16(x² + y²)²/4 = 4(x² + y²)²,解得x² + y²≤4,当且仅当x² = y² = 2时取等号,故B正确,C错误;
圆x² + y² = 4上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有(0,0),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2),将点的坐标代入曲线C的方程可知点(0,0)在曲线C上,(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)