《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1.[山西阳泉一中2024高二期中]在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$B(0,0,0)$，$B_{1}(0,0,4)$，$D(2,3,0)$，则$\overrightarrow{BD_{1}}=$　　　　　　　　(　　　)
A.$(2,3,2)$　　　　　
　B.$(2,3,4)$
C.$(2,3,-4)$　　　　　
　D.$(3,4,2)$

答案： B　[解析]因为$B(0,0,0)$，$B_1(0,0,4)$，$D(2,3,0)$，所以$D_1(2,3,4)$，所以$\overrightarrow{BD_1}=(2,3,4)$，故选B.

2.[浙江嘉兴高级中学2024高二调研]已知$\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$是空间的一组基底，$\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\}$是空间的另一组基底。若向量$\boldsymbol{p}$在基底$\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$下的坐标为$(2,3,-1)$，则向量$\boldsymbol{p}$在基底$\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\}$下的坐标是　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$(2,-1,-2)$　　　　
　B.$(2,-1,2)$
C.$(2,1,-2)$　　　　　
　D.$(2,1,2)$

答案： D　[解析]
∵向量$\boldsymbol{p}$在基底$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$下的坐标为$(2,3,-1)$，
∴$\boldsymbol{p}=2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$.设向量$\boldsymbol{p}$在基底$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\}$下的坐标是$(x,y,z)$，则$\boldsymbol{p}=2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=x\boldsymbol{a}+y(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+z(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$，
∴$\begin{cases}x = 2\\y + z = 3\\y - z = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 1\\z = 2\end{cases}$，即$(2,1,2)$.故选D.

3.[辽宁沈阳2024高二月考]空间中，若向量$\boldsymbol{a}=(5,9,m)$，$\boldsymbol{b}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{c}=(2,5,1)$共面，则$m=$　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.2　　　
　B.3　　　
　C.4　　　
　D.5

答案： C　[解析]因为$\boldsymbol{b}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{c}=(2,5,1)$，所以$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$不共线，可以取为一组基底.若向量$\boldsymbol{a}=(5,9,m)$，$\boldsymbol{b}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{c}=(2,5,1)$共面，则存在实数$x$，$y$，使得$\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{b}+y\boldsymbol{c}$，即$(5,9,m)=x(1,-1,2)+y(2,5,1)$，即$\begin{cases}5 = x + 2y\\9 = -x + 5y\\m = 2x + y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 2\\m = 4\end{cases}$，故选C.

4.[山东泰安一中2024高二月考]已知空间直角坐标系$Oxyz$中，$\overrightarrow{OA}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1,2)$，$\overrightarrow{OP}=(1,1,2)$，点$Q$在直线$OP$上运动，则当$\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}$取得最小值时，点$Q$的坐标为(　　　)
A.$(\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{1}{3})$　　　　
　B.$(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{4})$
C.$(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3})$　　　　
　D.$(\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{3})$

答案： C　[解析]因为点$Q$在直线$OP$上运动，所以$\overrightarrow{OQ}//\overrightarrow{OP}$，设$\overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OP}=(t,t,2t)$，于是有$Q(t,t,2t)$.因为$\overrightarrow{OA}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1,2)$，所以$A(1,2,3)$，$B(2,1,2)$，因此$\overrightarrow{QA}=(1 - t,2 - t,3 - 2t)$，$\overrightarrow{QB}=(2 - t,1 - t,2 - 2t)$.于是得$\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}=(1 - t)(2 - t)+(2 - t)(1 - t)+(3 - 2t)(2 - 2t)=6t^2 - 16t + 10=6\left(t - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{2}{3}$，则当$t = \frac{4}{3}$时，$(\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB})_{\min}=-\frac{2}{3}$，此时点$Q\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)$，所以当$\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}$取得最小值时，点$Q$的坐标为$\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)$.故选C.

5.(多选)[黑龙江大庆第二中学2023高二阶段检测]已知四边形$ABCD$的顶点分别是$A(3,-1,2)$，$B(1,2,-1)$，$C(-1,1,-3)$，$D(3,-5,3)$，那么以下说法正确的是　　　　　(　　　)
A.$\overrightarrow{AB}=(-2,3,-3)$
B.$\overrightarrow{CD}=(4,-6,6)$
C.$AC$的中点坐标为$(-2,0,-1)$
D.四边形$ABCD$是一个梯形

答案： AD　[解析]设点$O$为坐标原点，因为$A(3,-1,2)$，$B(1,2,-1)$，$C(-1,1,-3)$，$D(3,-5,3)$，所以$\overrightarrow{OA}=(3,-1,2)$，$\overrightarrow{OB}=(1,2,-1)$，$\overrightarrow{OC}=(-1,1,-3)$，$\overrightarrow{OD}=(3,-5,3)$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-2,3,-3)$，A正确；$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=(4,-6,6)$，B错误；设$AC$的中点为$E$，则$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=(3,-1,2)+\left(-2,1,-\frac{5}{2}\right)=\left(1,0,-\frac{1}{2}\right)$，所以点$E$的坐标为$\left(1,0,-\frac{1}{2}\right)$，C错误；因为$\overrightarrow{AB}=(-2,3,-3)$，$\overrightarrow{CD}=(4,-6,6)$，所以$\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$，$|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CD}|$，所以四边形$ABCD$是一个梯形，D正确.故选AD.

6.[山东日照2024高二月考]已知点$A(4,1,3)$，$B(2,-5,1)$，$C$为线段$AB$上一点，且$AC=\frac{2}{3}AB$，则点$C$的坐标为________。

答案： $\left(\frac{8}{3},-3,\frac{5}{3}\right)$　[解析]设$C(x,y,z)$，则$\overrightarrow{AC}=(x - 4,y - 1,z - 3)$，$\overrightarrow{AB}=(-2,-6,-2)$，由题意得$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，则$\begin{cases}x - 4 = -\frac{4}{3}\\y - 1 = -4\\z - 3 = -\frac{4}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{8}{3}\\y = -3\\z = \frac{5}{3}\end{cases}$，所以$C\left(\frac{8}{3},-3,\frac{5}{3}\right)$.

7.在空间直角坐标系中，已知$\overrightarrow{OA}=(3,2,1)$，$\overrightarrow{OB}=(1,0,5)$，$\overrightarrow{OC}=(-1,2,-1)$，点$M$为线段$AB$的中点，则$|\overrightarrow{CM}|=$　　　　　　　　(　　　)
A.$\sqrt{14}$　　
　B.$\sqrt{53}$　　
　C.$\sqrt{26}$　　
　D.$2\sqrt{14}$

答案： C　[解析]因为$\overrightarrow{OA}=(3,2,1)$，$\overrightarrow{OB}=(1,0,5)$，点$M$为线段$AB$的中点，所以$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=(2,1,3)$，所以$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}=(3,-1,4)$，所以$|\overrightarrow{CM}|=\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2}=\sqrt{26}$.

8.[黑龙江齐齐哈尔2024高二期中]已知空间中有三点$A(1,-1,2)$，$B(3,0,-1)$，$C(2,3,-3)$，则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CB}$的夹角为　　　　　(　　　)
A.$\frac{\pi}{6}$　　
　B.$\frac{\pi}{3}$　　　
　C.$\frac{2\pi}{3}$　　
　D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： C　[解析]由已知可得$\overrightarrow{AB}=(2,1,-3)$，$\overrightarrow{CB}=(1,-3,2)$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\rangle=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CB}|}=\frac{-7}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}=-\frac{1}{2}$.又$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\rangle\in[0,\pi]$，所以$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\rangle=\frac{2\pi}{3}$.故选C.

9.[北京第三十五中学2024高二期中]在空间直角坐标系$Oxyz$中，已知$\boldsymbol{a}=(1,2,-2)$，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(x,y,z)$，其中$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，则$|\boldsymbol{b}|$的最大值为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.3　　　
　B.$1+\sqrt{5}$　
　C.$\sqrt{10}$　　
　D.4

答案： D　[解析]因为$\boldsymbol{a}=(1,2,-2)$，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(x,y,z)$，所以$\boldsymbol{b}=(x - 1,y - 2,z + 2)$，且$x^2 + y^2 + z^2 = 1$，其中点$(x,y,z)$可以看作球心在原点，半径为$1$的球面上的点，所以$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2}$表示球面上的点到点$(1,2,-2)$的距离，最大值为球心到点$(1,2,-2)$的距离再加上球的半径，即$\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}+1 = 4$.故选D.

10.[山东青岛九中2024高二月考]已知空间向量$\boldsymbol{a}=(2,-2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(3,0,1)$，则向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$上的投影向量是　　　　　　(　　　)
A.$(\frac{10}{9},-\frac{10}{9},-\frac{5}{9})$　　
　B.$(\frac{10}{3},-\frac{10}{3},-\frac{5}{3})$
C.$(\frac{3}{2},0,\frac{1}{2})$　　　　
　D.$(\frac{3\sqrt{10}}{2},0,\frac{\sqrt{10}}{2})$

答案： A　[解析]根据题意，$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}=3$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3^2 + 0 + 1^2}=\sqrt{10}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=6 + 0 - 1 = 5$，则$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量为$|\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\cdot\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}\cdot|\boldsymbol{b}|\cdot\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{5}{3}\times\frac{(2,-2,-1)}{3}=\left(\frac{10}{9},-\frac{10}{9},-\frac{5}{9}\right)$.故选A.

11.[四川成都外国语学校2024高二月考]已知向量$\boldsymbol{a}=(2,3,-1)$，$\boldsymbol{b}=(-4,t,2)$，若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角，则实数$t$的取值范围为________。

答案： $(-\infty,-6)\cup\left(-6,\frac{10}{3}\right)$　[解析]$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}＜0\Rightarrow(2,3,-1)\cdot(-4,t,2)＜0\Rightarrow - 8 + 3t - 2＜0\Rightarrow t＜\frac{10}{3}$；$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Rightarrow\frac{-4}{2}=\frac{t}{3}\Rightarrow 2t = - 6$.综上，$t＜\frac{10}{3}$且$t\neq - 6$.故实数$t$的取值范围为$(-\infty,-6)\cup\left(-6,\frac{10}{3}\right)$.
[特别注意]由$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角可得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}＜0$且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线，注意不要忽略两个向量反向共线的情况.