《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [山东烟台2023高二月考]下列说法正确的是（ ）
A. 任一空间向量与它的相反向量都不相等
B. 将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C. 模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D. 不相等的两个空间向量的模可能相等

答案： D 【解析】对于A，零向量的相反向量是其本身，故A错误；对于B，终点构成一个球面，故B错误；对于C，向量不能比较大小，故C错误；对于D，非零向量的相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确. 故选D.
【名师点拨】空间向量是向量从二维到三维的推广，学习空间向量可以类比平面向量，在空间中，向量加减的平行四边形法则、三角形法则以及相关的运算律仍然成立.

2. (多选)下列命题正确的有（ ）
A. 在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，必有$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$
B. $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$是向量$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$的必要不充分条件
C. 若空间向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$
D. 若空间向量$\boldsymbol{m},\boldsymbol{n},\boldsymbol{p}$满足$\boldsymbol{m}//\boldsymbol{n},\boldsymbol{n}//\boldsymbol{p}$，则$\boldsymbol{m}//\boldsymbol{p}$

答案： ABC 【解析】$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$的长度相等、方向相同，则$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$，故A正确；若$\vert\boldsymbol{a}\vert =\vert\boldsymbol{b}\vert$，则$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的模相等，方向不一定相同，若$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的模相等，方向也相同，所以$\vert\boldsymbol{a}\vert =\vert\boldsymbol{b}\vert$是向量$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$的必要不充分条件，故B正确；根据向量相等的定义可知C正确；向量的平行不具有传递性，当$\boldsymbol{n}$为零向量时，零向量与任何向量都平行，但$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{p}$不一定平行，故D错误. 故选ABC.

3. [广东深圳2024高二期中]在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=$（ ）
A. $\overrightarrow{AC_{1}}$ B. $\overrightarrow{C_{1}A}$ C. $\overrightarrow{AD_{1}}$ D. $\overrightarrow{D_{1}A}$

答案：
A 【解析】$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AC_{1}}$. 故选A.

4. 已知有四边形ABCD，O为空间任意一点，且$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}$，则四边形ABCD是（ ）
A. 平行四边形 B. 空间四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形

答案： A 【解析】$\because\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}$，$\therefore\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\therefore\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DC}$且$\vert\overrightarrow{AB}\vert =\vert\overrightarrow{DC}\vert$，$\therefore$四边形$ABCD$为平行四边形.

5. [山东聊城2024高二月考]空间四边形OABC中，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=$（ ）
A. $\overrightarrow{OC}$ B. $\overrightarrow{OA}$ C. $\overrightarrow{AB}$ D. $\overrightarrow{AC}$

答案： A 【解析】根据空间向量的加法、减法运算法则，可得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}$. 故选A.

6. [湖南长沙长郡中学2023高二期中]在棱长为1的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB_{1}}|=$（ ）
A. 1 B. $\sqrt{2}$ C. $\sqrt{3}$ D. 2

答案： B 【解析】$\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB_{1}}\vert =\vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB_{1}}\vert =\vert\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB_{1}}\vert =\vert\overrightarrow{AB_{1}}\vert =\sqrt{2}$. 故选B.

7. 教材变式[广东江门2024高二期中]如图，已知平行六面体ABCD - A'B'C'D'，化简下列各式：
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$；
(2)$\overrightarrow{DD'}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

答案：
【解】
(1)因为$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}$，所以$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC'}$.
(2)因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{DD'}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DD'}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD'}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD'}$.

【链接教材】本题与教材第6页例1类似，考查空间向量的加减运算，在任意的空间几何体中，向量的减法都可以转化为加法，向量的加法可以根据三角形法则(首尾顺次相连)得到.

8. [湖北武汉华中师大一附中2024高二期中]如图所示，

在平行六面体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点. 若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{BM}=$（ ）
A. $\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ B. $\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
C. $-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ D. $-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$

答案： D 【解析】$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{BB_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}B_{1}})=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$. 故选D.