《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

9.[山东济南2024高二期末]在棱长为2的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点.
(1)证明：AF//平面A₁B₁C₁D₁.
(2)求直线EC与AF所成角的余弦值.

答案：

(1)[证明]在棱长为$2$的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$F$为$CD$的中点，$\therefore AF\subset$平面$ABCD$，又平面$ABCD//$平面$A_1B_1C_1D_1$，$\therefore AF//$平面$A_1B_1C_1D_1$。
(2)[解]以$D$为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则$E(2,1,2)$，$C(0,2,0)$，$A(2,0,0)$，$F(0,1,0)$，$\therefore\overrightarrow{EC}=(-2,1,-2)$，$\overrightarrow{AF}=(-2,1,0)$，设直线$EC$与$AF$所成角为$\theta$，则直线$EC$与$AF$所成角的余弦值为$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{AF}}{\vert\overrightarrow{EC}\vert\vert\overrightarrow{AF}\vert}=\frac{5}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

10.(多选)[辽宁沈阳二中2024高二阶段测试]已知v₁，v₂分别为直线l₁，l₂的方向向量(l₁，l₂不重合)，n₁，n₂分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是 （ ）
A.v₁//v₂⇔l₁//l₂　　
　B.v₁⊥n₁⇔l₁⊥α
C.n₁//n₂⇔α//β　　
　D.n₁⊥n₂⇔α⊥β

答案： ACD　[解析]选项A，由题设$\boldsymbol{v}_1//\boldsymbol{v}_2\Rightarrow l_1// l_2$，故A正确；
选项B，由题设$\boldsymbol{v}//\boldsymbol{n}\Rightarrow l\perp\alpha$，$l\perp\boldsymbol{n}_1\Rightarrow l\subset\alpha$或$l//\alpha$，故B错误；
选项C，由题设$\boldsymbol{n}_1//\boldsymbol{n}_2\Rightarrow\alpha//\beta$，故C正确；
选项D，由题设$\boldsymbol{n}_1\perp\boldsymbol{n}_2\Leftrightarrow\alpha\perp\beta$，故D正确。故选ACD。

11.(多选)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(-1,2,3)，B(0,-2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为 （ ）
A.(-12,-3,0)　　
　B.(7,2,-4)
C.(6,3,5)　　　　
　D.(-5,-1,1)

答案： AD　[解析]设$P(x,y,z)$，则$\overrightarrow{CP}=(x - 2,y - 1,z - 2)$，$\overrightarrow{OA}=(-1,2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(0,-2,4)$，若$\overrightarrow{CP}\perp$平面$OAB$，则$\overrightarrow{CP}\perp\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CP}\perp\overrightarrow{OB}$，所以
$\begin{cases}\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{OA}=2 - x + 2y - 2 + 3z - 6 = 0\\\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{OB}=-2(y - 1)+4(z - 2)=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-x + 2y + 3z - 6 = 0\\-2y + 4z - 6 = 0\end{cases}$，
将$(-12,-3,0)$代入，满足方程组，所以选项A符合题意；
将$(7,2,-4)$代入，不满足方程组，所以选项B不符合题意；
将$(6,3,5)$代入，不满足方程组，所以选项C不符合题意；
将$(-5,-1,1)$代入，满足方程组，所以选项D符合题意。故选AD。

12.[浙江台州七校2024高二期中联考]已知正三棱台ABC - A₁B₁C₁中，AA₁ = 1，BC = 2B₁C₁ = 2，D，E分别为AA₁，B₁C₁的中点. 求证：DE⊥平面BCC₁B₁.

答案：
[证明]将正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$补成正三棱锥$P - ABC$，如图所示。

设点$P$在底面$ABC$的射影为点$O$，则$O$为等边三角形$ABC$的中心，
取$AB$的中点$M$，连接$CM$，则点$O$在线段$CM$上，$CM\perp AB$，$CM = AC\sin\frac{\pi}{3}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
则$CO = \frac{2}{3}CM=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
因为$PO\perp$平面$ABC$，$CO\subset$平面$ABC$，所以$OP\perp CO$，又由已知易得$PC = 2$，所以$PO = \sqrt{PC^2 - OC^2}=\sqrt{2^2 - (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
以点$O$为坐标原点，$\overrightarrow{CO}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OP}$的方向分别为$x$，$y$，$z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则$C(-\frac{\sqrt{3}}{3},0,0)$，$B(1,0,0)$，$P(0,0,\frac{2\sqrt{6}}{3})$，$A(\frac{\sqrt{3}}{3},-1,0)$，
$D(\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{3})$，$E(\frac{\sqrt{3}}{12},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{6}}{3})$，
则$\overrightarrow{DE}=(-\frac{\sqrt{3}}{3},1,\frac{\sqrt{6}}{6})$，$\overrightarrow{CP}=(\frac{2\sqrt{3}}{3},0,\frac{2\sqrt{6}}{3})$，$\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3},1,0)$，
所以$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{CP}=-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=0$，$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{CB}=-1 + 1 = 0$，
所以$\overrightarrow{DE}\perp\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{DE}\perp\overrightarrow{CB}$，
又因为$\overrightarrow{CP}\cap\overrightarrow{CB}=C$，$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}\subset$平面$BCC_1B_1$，所以$\overrightarrow{DE}\perp$平面$BCC_1B_1$。

13.(多选)给定下列命题，其中不正确的有 （ ）
A.若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b
B.若a是平面α的斜线，平面β内的一条直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b
C.若a是平面α的斜线，b⊂α，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则a⊥b
D.若a是平面α的斜线，b⊂α，且b垂直于a在α内的射影，则a⊥b

答案： ABC　[解析]对于A，$\boldsymbol{b}$必须在$\alpha$内才满足。对于B，$\boldsymbol{b}$也必须在$\alpha$内，或者此时$\alpha$与$\beta$重合，否则结论不成立；对于C，$\boldsymbol{b}$应垂直于$\boldsymbol{a}$在$\alpha$内的射影。D正确，故选ABC。

14.[山东日照一中2024高二检测]在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁的中点，则直线CE垂直于 （ ）
A.AC　　　　　　　
　B.BD
C.A₁D　　　　　　
　D.A₁A

答案： B　[解析]直线$CE$在平面$ABCD$内的射影在直线$AC$上，又$AC\perp BD$，$\therefore BD\perp CE$，故选B。

15.如图所示，已知矩形ABCD，AB = 1，BC = a，PA⊥平面ABCD. 若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________.

答案： 2　[解析]$\because PA\perp$平面$ABCD$，$\therefore AQ$是$PQ$在平面$ABCD$内的射影。由$PQ\perp QD$，得$AQ\perp QD$，则$\triangle AQD$为直角三角形。
设$BQ = x$，则$CQ = a - x$，$\therefore AQ^2 = 1 + x^2$，$QD^2 = 1 + (a - x)^2$，那么$a^2 = 1 + x^2 + 1 + (a - x)^2$，整理得$x^2 - ax + 1 = 0$。
由题意，该方程有两个相等的实根，故$\Delta = 0$，即$a^2 = 4$。又$\because a\gt0$，$\therefore a = 2$。

16.若平面α，β的一个法向量分别为a = $(\frac{1}{2},-1,3)$，b = (-1,2,-6)，则 （ ）
A.α//β
B.α与β相交但不垂直
C.α⊥β
D.α//β或α与β重合

答案： D　[解析]$\because\boldsymbol{b}= -2\boldsymbol{a}$，$\therefore\boldsymbol{b}//\boldsymbol{a}$，$\therefore\alpha//\beta$或$\alpha$与$\beta$重合。

17.已知直线l的方向向量为a，平面α的一个法向量为n = (2,2,4)，若a = (1,1,2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a = (-1,-1,1)，则直线l与平面α的位置关系为________.

答案： 垂直　$l//\alpha$或$l\subset\alpha$　[解析]若$\boldsymbol{a}=(1,1,2)$，则$\boldsymbol{n}=2\boldsymbol{a}$，则$\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{a}$共线，故直线$l$与平面$\alpha$垂直；
若$\boldsymbol{a}=(-1,-1,1)$，则$\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{a}=2\times(-1)+2\times(-1)+4\times1 = 0$，则$\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{a}$，又不确定直线$l$是否在平面$\alpha$内，所以$l//\alpha$或$l\subset\alpha$。