《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 直线$y = x + 1$与圆$x^{2}+y^{2}=1$的位置关系为（ ）
A. 相切
B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心
D. 相离

答案： B　[解析]圆心(0,0)到直线y=x+1 的距离d = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。因为0＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，所以直线与圆相交但直线不过圆心，故选B。

2. [山西太原2024高二期中]已知直线$l:(1 + \lambda)x + y-\lambda = 0(\lambda\in\mathbf{R})$，圆$C:x^{2}+y^{2}=4$，则直线$l$与圆$C$的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不确定

答案： A　[解析]已知直线l:(1 + λ)x + y - λ = 0(λ ∈ R)，变形整理得(x + y)+λ(x - 1)= 0，由$\begin{cases}x + y = 0\\x - 1 = 0\end{cases}$， 得$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$， 即直线l恒过定点(1,-1)，代入圆C的方程的左端有1² + (-1)² = 2 ＜ 4，即点在圆内，所以直线l与圆C相交。 故选A。

3. (多选)[辽宁鞍山一中2023高二期中]已知圆$O:x^{2}+y^{2}=r^{2}$，点$P(x_{0},y_{0})$，则下列说法正确的有（ ）
A. 若点$P$在圆$O$上，则圆$O$在点$P$处的切线方程为$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$
B. 若点$P$在圆$O$外，则直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$与圆$O$相交
C. 若点$P$在圆$O$内，则直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$与圆$O$相交
D. 若点$P$在圆$O$外，则直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$与圆$O$位置关系不确定

答案： AB　[解析]对于A，点P在圆O上，则$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}$，因为点P的坐标满足$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$，故直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$过点P。 又点O(0,0)到直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$的距离d = $\frac{r^{2}}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}$ = r，故直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$与圆O相切。 综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$，A正确。
对于B、D，点P在圆O外，则$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}＞r^{2}$，又点O到直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$的距离d = $\frac{r^{2}}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}＜r$，故直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$与圆O相交，所以B正确，D错误。
对于C，点P在圆O内，则$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}＜r^{2}$，又点O到直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$的距离d = $\frac{r^{2}}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}＞r$，故直线$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$与圆O相离，C错误。
故选AB。

4. [湖南长沙2024高二期中]过点$(4,0)$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}-4x - 8y + 16 = 0$相切，则直线$l$的方程为（ ）
A. $3x + 4y - 12 = 0$或$y = 0$
B. $3x + 4y - 12 = 0$或$x = 4$
C. $4x + 3y - 12 = 0$或$y = 0$
D. $4x + 3y - 12 = 0$或$x = 4$

答案： B　[解析]圆$x^{2}+y^{2}-4x - 8y + 16 = 0$化为标准方程得(x - 2)² + (y - 4)² = 4，则圆心为(2,4)，半径为2。
当直线l的斜率不存在时，直线l:x = 4，此时直线l与圆$x^{2}+y^{2}-4x - 8y + 16 = 0$相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = k(x - 4)，即kx - y - 4k = 0，圆心(2,4)到直线l的距离d = $\frac{|2k - 4 - 4k|}{\sqrt{k^{2}+1}}$ = $\frac{|2k + 4|}{\sqrt{k^{2}+1}}$，由相切得d = 2，所以$\frac{|2k + 4|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 2$，解得k = - $\frac{3}{4}$，得直线方程为3x + 4y - 12 = 0。 综上，直线l的方程为3x + 4y - 12 = 0或x = 4。 故选B。

5. 若圆$C$的半径为1，圆心在第三象限，且与直线$4x - 3y = 0$和$y$轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A. $(x + 1)^{2}+(y + 3)^{2}=1$
B. $(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=1$
C. $(x - 3)^{2}+(y - 1)^{2}=1$
D. $(x + 3)^{2}+(y + 1)^{2}=1$

答案： A　[解析]设圆心C(a,b)(a ＜ 0,b ＜ 0)，圆C:(x - a)² + (y - b)² = 1，依题意有a = -1，圆心C(a,b)到直线4x - 3y = 0的距离为$\frac{|-4 - 3b|}{5}$ = 1，解得b = -3或b = $\frac{1}{3}$(舍去)。
所以圆C的标准方程为(x + 1)²+(y + 3)² = 1。
故选A。

6. [北京通州区2024高二期中]过直线$y = x - 1$上一点$P$作圆$C:(x - 5)^{2}+y^{2}=2$的两条切线$l_{1}$，$l_{2}$，切点分别为$A$，$B$，当直线$l_{1}$，$l_{2}$关于直线$y = x - 1$对称时，线段$PA$的长为（ ）
A. 4
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{6}$
D. 2

答案：
C　[解析]如图所示，圆心C(5,0)，连接CP、CA，因为直线$l_{1}$、$l_{2}$关于直线y = x - 1对称，所以CP垂直于直线y = x - 1，故|CP| = $\frac{|5 - 1|}{\sqrt{2}}$ = 2$\sqrt{2}$，而|AC| = $\sqrt{2}$，则|PA| = $\sqrt{|CP|^{2}-|CA|^{2}}$ = $\sqrt{6}$。 故选C。

7. 过点$(1,2)$总可以作两条直线与圆$x^{2}+y^{2}+kx + 2y + k^{2}-15 = 0$相切，则实数$k$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$
B. $(-\infty,-3)\cup(2,\frac{8\sqrt{3}}{3})$
C. $(-\frac{8\sqrt{3}}{3},-3)\cup(2,+\infty)$
D. $(-\frac{8\sqrt{3}}{3},-3)\cup(2,\frac{8\sqrt{3}}{3})$

答案： D　[解析]把圆的方程化为标准方程得$(x+\frac{1}{2}k)^{2}+(y + 1)^{2}=16-\frac{3}{4}k^{2}$。 由16 - $\frac{3}{4}k^{2}＞0$，解得 - $\frac{8\sqrt{3}}{3}＜k＜\frac{8\sqrt{3}}{3}$。 由题意得点(1,2)应在已知圆的外部，把点(1,2)的坐标代入圆的方程得1 + 4 + k + 4 + $k^{2}-15＞0$，即(k - 2)(k + 3)＞0，解得k ＜ -3或k ＞ 2。
综上所述，实数k的取值范围是$(-\frac{8\sqrt{3}}{3},-3)\cup(2,\frac{8\sqrt{3}}{3})$。 故选D。

8. (多选)[江苏宿迁2024高二月考]已知圆$O:x^{2}+y^{2}=4$，过直线$l:x + y - 6 = 0$上一点$P$作圆$O$的两条切线，切点分别为$A$，$B$，则（ ）
A. 若点$P(2,4)$，则直线$AB$的方程为$x + 2y - 2 = 0$
B. 四边形$PAOB$面积的最小值为$2\sqrt{14}$
C. 线段$AB$长度的最小值为$\frac{4\sqrt{7}}{3}$
D. 点$O$始终在以线段$AB$为直径的圆上

答案：
ABC　[解析]对于A，点P(2,4)，连接OA、OB、OP，则OA⊥PA，OB⊥PB，故A、B在以OP为直径的圆上，而|OP| = 2$\sqrt{5}$，则以OP为直径的圆的方程为(x - 1)²+(y - 2)² = 5，将方程(x - 1)²+(y - 2)² = 5和$x^{2}+y^{2}=4$相减得2x + 4y - 4 = 0，即直线AB的方程为x + 2y - 2 = 0，A正确；
对于B，由题意知|OA| = 2，则四边形PAOB的面积S = 2×$\frac{1}{2}$|OA|·|PA| = 2|PA| = 2$\sqrt{|PO|^{2}-4}$，而|PO|的最小值即为原点O到直线l:x + y - 6 = 0的距离d = $\frac{|-6|}{\sqrt{2}}$ = 3$\sqrt{2}$，故四边形PAOB的面积的最小值为2$\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}-4}$ = 2$\sqrt{14}$，B正确；
对于C，设P(a,b)，则以OP为直径的圆的方程为x(x - a)+y(y - b)=0，与$x^{2}+y^{2}=4$相减，即得直线AB的方程为ax + by = 4，又a + b - 6 = 0，故ax + (6 - a)y = 4，即a(x - y)+6y - 4 = 0，令$\begin{cases}x - y = 0\\6y - 4 = 0\end{cases}$， 得x = y = $\frac{2}{3}$，即直线AB过定点($\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$)，设为E，则|OE| = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，当AB⊥OE时，|AB|最小，最小值为2$\sqrt{4 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}}$ = $\frac{4\sqrt{7}}{3}$，C正确；
对于D，在四边形PAOB中，∠AOB不一定是直角，故点O不一定在线段AB为直径的圆上，D错误。 故选ABC。

9. 直线$x - y + 1 = 0$与直线$2x - 2y - 1 = 0$是圆$C$的两条切线，则圆$C$的面积是________.

答案： $\frac{9}{32}\pi$ 【解析】易知直线x - y + 1 = 0与直线2x - 2y - 1 = 0平行，若两条平行直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径。 直线x - y + 1 = 0，即2x - 2y + 2 = 0，与直线2x - 2y - 1 = 0间的距离d = $\frac{|2 + 1|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则圆C的半径r = $\frac{3\sqrt{2}}{8}$，圆C的面积S = $\pi r^{2}=\frac{9}{32}\pi$。

10. [江西新余六中2024高二统考]过三点$A(1,3)$，$B(5,3)$，$C(1,-7)$的圆交$y$轴于$M$，$N$两点，则$|MN|=$（ ）
A. $2\sqrt{6}$
B. $4\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $4\sqrt{5}$

答案： D　[解析]由A(1,3)、B(5,3)、C(1,-7)可知，直线AB与x轴平行，直线AC与y轴平行，所以AB⊥AC，即圆为直角三角形ABC的外接圆，所以圆心坐标为BC的中点($\frac{1 + 5}{2}$，$\frac{-7 + 3}{2}$)，即圆心为(3,-2)，故半径r = $\sqrt{(3 - 1)^{2}+(-2 + 7)^{2}}$ = $\sqrt{29}$，由圆中弦长、弦心距、半径的关系可得|MN| = 2$\sqrt{r^{2}-(3 - 0)^{2}}$ = 2$\sqrt{20}$ = 4$\sqrt{5}$。 故选D。

11. [陕西西安长安区一中2024高二期中]已知直线$l:x - y - 7 = 0$交圆$O:x^{2}+y^{2}=49$于$A$，$B$两点，则$\triangle OAB$（$O$为坐标原点）的面积为（ ）
A. $\frac{49}{4}$
B. $\frac{49}{2}$
C. 49
D. 98

答案： B　[解析]由题意，圆O:$x^{2}+y^{2}=49$，可得圆心O(0,0)，则圆心O到直线l:x - y - 7 = 0的距离d = $\frac{7}{\sqrt{2}}$ = $\frac{7\sqrt{2}}{2}$，所以|AB| = 2$\sqrt{49 - (\frac{7\sqrt{2}}{2})^{2}}$ = 2×$\frac{7\sqrt{2}}{2}$ = 7$\sqrt{2}$，所以$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{1}{2}\times7\sqrt{2}\times\frac{7\sqrt{2}}{2}=\frac{49}{2}$。 故选B。