《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1.（多选）已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$
B. $\frac{x^{2}}{63}+\frac{y^{2}}{36}=1$
C. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{36}=1$
D. $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{63}=1$

答案： AC 【解析】由椭圆的定义可得2a = 12,a = 6.
因为椭圆G的离心率为$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,则c = $3\sqrt{3}$,所以b = $\sqrt{a^{2}-c^{2}} = 3$.
若椭圆G的焦点在x轴上,则椭圆G的方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$;
若椭圆G的焦点在y轴上,则椭圆G的方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{36}=1$. 故选AC.

2.［山东滨州2024高二期中］北京冬奥会于2022年2月4日开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）


A. 30cm
B. 20cm
C. 10cm
D. $10\sqrt{3}$cm

答案： B 【解析】因为两个椭圆的离心率相同,所以$\frac{2b_{大}}{2a_{大}}=\frac{2b_{小}}{2a_{小}}$,所以$\frac{20}{40}=\frac{10}{2a_{小}}$,所以$a_{小}=10$,所以小椭圆的长轴长为20 cm. 故选B.

3.［陕西咸阳2023高二阶段性测试］已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{14 - \lambda}+\frac{y^{2}}{\lambda - 6}=1(10＜\lambda＜14)$的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F为C的一个焦点，P为C上一动点，则|PF|的最大值为（ ）
A. 3
B. 5
C. $3+\sqrt{5}$
D. $2+\sqrt{6}$

答案： D 【解析】设椭圆C的半焦距为c(c ＞ 0),
∵10＜λ＜14,
∴0＜14 - λ＜4＜λ - 6,故椭圆的焦点在y轴上.
∵$c^{2}=(λ - 6)-(14 - λ)=2λ - 20$,又离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴$\frac{2λ - 20}{λ - 6}=\frac{2}{3}$,解得λ = 12,$a^{2}=6$,$b^{2}=2$,$c^{2}=4$.
∴根据椭圆的性质可知$\vert PF\vert_{max}=a + c=2+\sqrt{6}$. 故选D.

4.已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆C上，直线PA，PB的斜率分别为$k_1$，$k_2$，则$k_1\cdot k_2=$（ ）
A. $-\frac{2}{3}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $-\frac{\sqrt{6}}{2}$
D. $-\frac{9}{4}$

答案： A 【解析】由题意知A($-\sqrt{6}$,0),B($\sqrt{6}$,0).
设P($x_{0}$,$y_{0}$)($x_{0}\neq\pm\sqrt{6}$),则$k_{1}=\frac{y_{0}}{x_{0}+\sqrt{6}}$,$k_{2}=\frac{y_{0}}{x_{0}-\sqrt{6}}$,P为椭圆C上一点,
∴$\frac{x_{0}^{2}}{6}-1=-\frac{y_{0}^{2}}{4}$,即$-\frac{4}{6}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-6}$,
∴$\frac{y_{0}}{x_{0}+\sqrt{6}}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-\sqrt{6}}=-\frac{2}{3}$,即$k_{1}\cdot k_{2}=-\frac{2}{3}$. 故选A.

5.（多选）［山东青岛二中2024高二月考］2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）

A. 椭圆的长轴长为$4\sqrt{2}$
B. 线段AB长度的取值范围是$[4,2 + 2\sqrt{2}]$
C. $\triangle ABF$面积的最小值是4
D. $\triangle AFG$的周长为$4 + 4\sqrt{2}$

答案： ABD 【解析】由题意知,椭圆中的几何量b = c = 2,则a = $2\sqrt{2}$,2a = $4\sqrt{2}$,A正确;
$\vert AB\vert=\vert OB\vert+\vert OA\vert=2+\vert OA\vert$,由椭圆的性质可知2≤$\vert OA\vert\leq2\sqrt{2}$,所以4≤$\vert AB\vert\leq2 + 2\sqrt{2}$,B正确;
记$\angle AOF=\theta(0＜\theta\leq\frac{\pi}{2})$,则$S_{\triangle ABF}=S_{\triangle AOF}+S_{\triangle OBF}=\frac{1}{2}\vert OA\vert\cdot\vert OF\vert\sin\theta+\frac{1}{2}\vert OB\vert\cdot\vert OF\vert\sin(\pi - \theta)=\vert OA\vert\sin\theta+2\sin\theta=(\vert OA\vert + 2)\sin\theta$,取$\theta=\frac{\pi}{6}$,则$S_{\triangle ABF}=1+\frac{1}{2}\vert OA\vert＜1+\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}＜4$,C错误;
由椭圆定义知,$\vert AF\vert+\vert AG\vert=2a = 4\sqrt{2}$,所以$\triangle AFG$的周长为$\vert FG\vert+4\sqrt{2}=4 + 4\sqrt{2}$,D正确. 故选ABD.

6. P为椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{15}=1$上任意一点，EF为圆N：$(x - 1)^{2}+y^{2}=4$的任意一条直径，则$\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PF}$的取值范围是________.

答案： [5,21] 【解析】由题意知,$\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PF}=(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NE})\cdot(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NF})=(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NE})\cdot(\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{NE})=\overrightarrow{PN}^{2}-\overrightarrow{NE}^{2}=\vert\overrightarrow{PN}\vert^{2}-4$. 因为a - c≤$\vert\overrightarrow{PN}\vert\leq a + c$,即3≤$\vert\overrightarrow{PN}\vert\leq5$,所以$\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PF}$的取值范围是[5,21].

7. 点P是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点，$F_1$，$F_2$分别是椭圆的左、右焦点，且$\triangle PF_1F_2$的内切圆半径为1，当P在第一象限时，点P的纵坐标为________.

答案： $\frac{8}{3}$ 【解析】根据椭圆的定义可知$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert=10$,$\vert F_{1}F_{2}\vert=6$.
令内切圆圆心为C,半径为r,则$S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=S_{\triangle PCF_{1}}+S_{\triangle PCF_{2}}+S_{\triangle CF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert+\vert F_{1}F_{2}\vert)\cdot r=\frac{1}{2}\times(10 + 6)\times1 = 8$.
设点P的纵坐标为$y_{P}$,则$y_{P}＞0$,
又
∵$S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\vert F_{1}F_{2}\vert\cdot y_{P}=3y_{P}$,
∴3$y_{P}=8$,$y_{P}=\frac{8}{3}$.

8.［辽宁大连2024高二期中］已知P是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$上一点，$F_1$，$F_2$分别是椭圆的左、右焦点.若$\triangle PF_1F_2$的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： A 【解析】由题意可知,$\begin{cases}2a + 2c = 6\\a - c = 1\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 2\\c = 1\end{cases}$,所以椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 故选A.