《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

11. 已知直线a₁x+b₁y+1=0和直线a₂x+b₂y+1=0(a₁≠a₂，b₁≠b₂)都过点A(2,1)，则过点P₁(a₁,b₁)和点P₂(a₂,b₂)的直线方程是 ( )
A. 2x+y-1=0
B. 2x+y+1=0
C. 2x-y+1=0
D. x+2y+1=0

答案： B 【解析】把A(2,1)代入两个直线方程$a_{1}x + b_{1}y + 1 = 0$和$a_{2}x + b_{2}y + 1 = 0$,得$2a_{1} + b_{1} + 1 = 0$①,$2a_{2} + b_{2} + 1 = 0$②,
∴① - ②得$2(a_{1} - a_{2}) = b_{2} - b_{1}$.
∵过点$P_{1}(a_{1},b_{1}),P_{2}(a_{2},b_{2})$的直线的方程是$\frac{y - b_{1}}{b_{2} - b_{1}}$ = $\frac{x - a_{1}}{a_{2} - a_{1}}$,
∴$y - b_{1} = -2(x - a_{1})$,则$2x + y - (2a_{1} + b_{1}) = 0$.
∵$2a_{1} + b_{1} + 1 = 0$,
∴$2a_{1} + b_{1} = -1$,
∴所求直线方程为2x + y + 1 = 0.故选B.

12. [广西三新学术联盟2024高二联考]直线l过点P(-2,3)，且与x轴、y轴分别交于A,B两点。若P恰为线段AB的中点，则直线l的方程为________________。

答案： 3x - 2y + 12 = 0 【解析】设A(x,0),B(0,y).因为P恰为线段AB的中点,所以$\frac{x + 0}{2}$ = -2,$\frac{0 + y}{2}$ = 3,所以x = -4,y = 6,即A,B两点的坐标分别为(-4,0),(0,6).由两点式,得$\frac{y - 6}{0 - 6}$ = $\frac{x - 0}{-4 - 0}$,整理得3x - 2y + 12 = 0.

13. 直线$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1在y轴上的截距为 ( )
A. |b|
B. -b
C. b
D. ±b

答案： B 【解析】方程$\frac{x}{a}$ - $\frac{y}{b}$ = 1,令x = 0,解得y = -b,
∴直线$\frac{x}{a}$ - $\frac{y}{b}$ = 1在y轴上的截距为-b.故选B.

14. [河南郑州2023高二月考]过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 ( )
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 无数多条

答案： C 【解析】当直线经过原点时,斜率k = $\frac{3}{2}$,所以直线方程为3x - 2y = 0;当直线不经过原点时,由题意可设直线方程为x ± y = a,将点P(2,3)的坐标代入,得a = 5或-1,则直线方程为x + y - 5 = 0,x - y + 1 = 0.综上可知,满足要求的直线有3条.故选C.
【特别注意】利用直线的截距式方程时,特别注意过原点的情况.

15. (多选) [河北石家庄2024高二月考]下列说法正确的是 ( )
A. $\frac{y-y₁}{x-x₁}$=k不能表示过点M(x₁,y₁)且斜率为k的直线的方程
B. 在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1
C. 直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D. 设A(-2,2)，B(1,1)，若直线l:ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是(-∞,-2]∪[$\frac{3}{2}$,+∞)

答案：
AD 【解析】选项A:过点$M(x_{1},y_{1})$且斜率为k的直线方程为$y - y_{1} = k(x - x_{1})$,而$\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}$ = k不过点$M(x_{1},y_{1})$,故A说法正确;选项B:当x轴、y轴上的截距a,b至少有一个为0时,不能用$\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1表示,故B说法错误;选项C:当b＜0时,直线y = kx + b与y轴的交点到原点的距离为-b,故C说法错误;选项D:如图所示,直线l:ax + y + 1 = 0过定点P(0,-1),因为$k_{PA}$ = $\frac{2 - (-1)}{-2 - 0}$ = -$\frac{3}{2}$,$k_{PB}$ = $\frac{1 - (-1)}{1 - 0}$ = 2,所以连接定点P与线段AB上的点所成直线的斜率范围为(-∞,-$\frac{3}{2}$]∪[2,+∞),所以要使直线l与线段AB有交点,则-a≤-$\frac{3}{2}$或-a≥2,即a∈(-∞,-2]∪[$\frac{3}{2}$,+∞),故D说法正确.故选AD.

16. [陕西榆林2024高二月考]直线l经过点P(4,-3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a,b满足logₐb=2，则直线l的斜率为 ( )
A. 2
B. -1
C. -3
D. -1或-3

答案： C 【解析】由题意知ab≠0,可设直线l的方程为$\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1,则$\frac{4}{a}$ + $\frac{-3}{b}$ = 1①,又$log_{a}b = 2$,
∴$b = a^{2}$②.由①②解得a = 3,b = 9或a = 1,b = 1.又由$log_{a}b = 2$知a＞0,a≠1,b＞0,则a = 3,b = 9,则直线l的斜率为-$\frac{b}{a}$ = -3.故选C.

17. [四川成都郫都区2024高二期中]直线l过点A(2,3)，则直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形面积的最小值为 ( )
A. 9
B. 12
C. 18
D. 24

答案： B 【解析】设直线l:$\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1(a＞0,b＞0),因为直线l过点A(2,3),所以$\frac{2}{a}$ + $\frac{3}{b}$ = 1,即2b + 3a = ab,所以2b + 3a = ab≥2$\sqrt{2b·3a}$,解得ab≥24,当且仅当2b = 3a,即a = 4,b = 6时等号成立,则直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积S = $\frac{1}{2}$ab≥12.故选B.

18. 已知线段BC的中点为D(3,$\frac{3}{2}$)，若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程。

答案： 【解】由已知,得直线BC的斜率存在且不为0.设直线BC在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b.故直线BC的截距式方程为$\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1.由题意得a + b = 9,①又点D(3,$\frac{3}{2}$)在直线BC上,
∴$\frac{3}{a}$ + $\frac{3}{2b}$ = 1,
∴6b + 3a = 2ab.②由①②联立得$2a^{2} - 21a + 54 = 0$,即(2a - 9)(a - 6) = 0,解得a = $\frac{9}{2}$或a = 6.
∴$\begin{cases}a = \frac{9}{2}\\b = \frac{9}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 6\\b = 3\end{cases}$.
∴直线BC的方程为$\frac{2x}{9}$ + $\frac{2y}{9}$ = 1或$\frac{x}{6}$ + $\frac{y}{3}$ = 1.即2x + 2y - 9 = 0或x + 2y - 6 = 0.

19. [天津南开中学2024高二学情调查]过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 ( )
A. x-y+1=0
B. x+y-1=0
C. 2x-y=0或x-y+1=0
D. 2x+y=0或x+y+1=0

答案： C 【解析】当直线过原点时,在两坐标轴上的截距都为0,满足题意,又因为直线过点A(1,2),所以直线的斜率为$\frac{2 - 0}{1 - 0}$ = 2,所以直线方程为y = 2x,即2x - y = 0;当直线不过原点时,设直线方程为$\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{-a}$ = 1,因为点A(1,2)在该直线上,所以$\frac{1}{a}$ + $\frac{2}{-a}$ = 1,解得a = -1,所以直线方程为x - y + 1 = 0.故所求直线方程为2x - y = 0或x - y + 1 = 0.故选C.
【易错警示】直线的截距是直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标,在x轴上的截距就是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距就是直线与y轴交点的纵坐标.当直线过原点时,直线在x轴、y轴上的截距都是0,所以当已知直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数或成倍数关系时,应注意截距都为0的情形.在x轴上和y轴上的截距均非零的情况下,可设方程为$\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1.