《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A(-3,1,5)，B(4,3,1)，P 为线段 AB 的中点，则点 P 的位置向量的坐标是（ ）
A. ($\frac{7}{2}$,1,-2)
B. ($\frac{1}{2}$,2,3)
C. (-12,3,5)
D. ($\frac{1}{3}$,$\frac{4}{3}$,-2)

答案： B 【解析】由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得点P的坐标为$(\frac{1}{2},2,3)$，则点P的位置向量$\overrightarrow{OP}$的坐标为$(\frac{1}{2},2,3)$。故选B.

2. [广东惠州六校2024高二联考]若 P(1,0,-2)，Q(3,1,1)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为（ ）
A. (1,2,3)
B. (1,3,2)
C. (2,1,3)
D. (3,2,1)

答案： C 【解析】依题意，直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{PQ}=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3)$，其他三个均不符合要求. 故选C.

3. [河北沧州2024高二月考]已知向量 a=(2,-1,3)，b=(-4,2x²,6x)都是直线 l 的方向向量，则 x 的值是（ ）
A. -1
B. 1或-1
C. -3
D. 1

答案： A 【解析】由题意可得$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}(\lambda\in\mathbf{R})$，则$(-4,2x^{2},6x)=\lambda(2,-1,3)=(2\lambda,-\lambda,3\lambda)$，所以$\begin{cases}-4 = 2\lambda\\2x^{2}=-\lambda\\6x = 3\lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=-2\\x=-1\end{cases}$。故选A.

4. 一质点从(1,1,1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为 v=(1,2,3)，2秒后质点所处的位置为（ ）
A. (3,5,7)
B. (2,4,6)
C. (3,5,8)
D. (5,3,7)

答案： A 【解析】2秒后质点所处的位置为$(1,1,1)+2\boldsymbol{v}=(1,1,1)+2(1,2,3)=(3,5,7)$.

5. 已知点 A(4,1,3)，B(2,-5,1)，C 为线段 AB 上一点且$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{3}$，则点 C 的坐标为（ ）
A. ($\frac{7}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$)
B. ($\frac{3}{8}$,-3,2)
C. ($\frac{10}{3}$,-1,$\frac{7}{3}$)
D. ($\frac{5}{2}$,-$\frac{7}{2}$,$\frac{3}{2}$)

答案： C 【解析】设$C(x,y,z)$，$\because C$为线段$AB$上一点且$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{3}$，$\therefore\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，即$(x - 4,y - 1,z - 3)=\frac{1}{3}(-2,-6,-2)$，$\therefore x=\frac{10}{3},y=-1,z=\frac{7}{3}$.

6. 在正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，PQ 与直线 A₁D 和 AC 都垂直，则直线 PQ 与 BD₁ 的位置关系是（ ）

A. 异面
B. 平行
C. 垂直不相交
D. 垂直且相交

答案： B 【解析】设正方体的棱长为1. 以D为坐标原点，$DA,DC,DD_1$所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则$\overrightarrow{DA_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$.设$\overrightarrow{PQ}=(a,b,c)$，则$\begin{cases}a + c = 0\\-a + b = 0\end{cases}$，取$\overrightarrow{PQ}=(1,1,-1)$.$\because\overrightarrow{BD_1}=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-\overrightarrow{PQ}$，$\therefore\overrightarrow{PQ}//\overrightarrow{BD_1}$，$\therefore PQ// BD_1$.

7. [安徽六安一中2024月考]已知直线 l₁ 的方向向量为 a=(2,1,3)，直线 l₂ 的方向向量为 b=(4,m,6)，若 l₁//l₂，则实数 m 的值为________.

答案： 2 【解析】因为$l_1// l_2$，所以$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\frac{4}{2}=\frac{m}{1}=\frac{6}{3}$，解得$m = 2$.

8. 已知 O 为坐标原点，在四面体 OABC 中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线 AD//BC，并且 AD 交坐标平面 zOx 于点 D，则点 D 的坐标为________.

答案： $(1,0,5)$ 【解析】$\because D\in$平面$zOx$，$\therefore$设$D(x,0,z)$，则$\overrightarrow{AD}=(x,-3,z - 5)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,3,0)$.$\because$直线$AD// BC$，$\therefore\overrightarrow{AD}//\overrightarrow{BC}$，$\therefore$存在$\lambda\in\mathbf{R}$，使得$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\therefore(x,-3,z - 5)=\lambda(-1,3,0)$，$\therefore\begin{cases}x=-\lambda\\-3 = 3\lambda\\z - 5 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}\lambda=-1\\x = 1\\z = 5\end{cases}$，$\therefore$点D的坐标为$(1,0,5)$.

9. 已知向量 a=(4,4,5)，b=(-7,x,y)分别是直线 l₁，l₂ 的方向向量，若 l₁⊥l₂，则下列几组解中可能正确的是（ ）
A. x=1，y=3
B. x=4，y=3
C. x=2，y=4
D. x=0，y=2

答案： C 【解析】由题意知，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-28 + 4x + 5y = 0$，即$4x + 5y = 28$，代入各选项中的值计算，只有C选项满足$2\times4 + 4\times5 = 28$，故选C.

10. [山东日照实验高级中学2024高二阶段考试]两条直线 l₁，l₂ 的方向向量分别为 m=(2,1,-2)，n=(1,1,1)，则这两条直线（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 异面
D. 相交或异面

答案： D 【解析】因为$\boldsymbol{m}=(2,1,-2)$，$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，所以$\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}=2\times1 + 1\times1 - 2\times1 = 1\neq0$，故直线$l_1$，$l_2$不垂直.又$\frac{2}{1}\neq\frac{1}{1}\neq\frac{-2}{1}$，故直线$l_1$，$l_2$不平行，所以两条直线相交或异面. 故选D.

11. 已知点 A，B，C 的坐标分别为(0,1,0)，(-1,0,-1)，(2,1,1)，点 P 的坐标为(x,0,z)。若 PA⊥AB，PA⊥AC，则点 P 的坐标为________.

答案： $(-1,0,2)$ 【解析】$\overrightarrow{AB}=(-1,-1,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(2,0,1)$，$\overrightarrow{PA}=(-x,1,-z)$，由$\begin{cases}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$得$\begin{cases}x - 1 + z = 0\\-2x - z = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\z = 2\end{cases}$，$\therefore P(-1,0,2)$.

12. 如图，在直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA₁ = 4.
(1)求证：AC⊥BC₁.
(2)在线段 AB 上是否存在点 D，使得 AC₁⊥CD？

答案：
(1)【证明】在直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$，$\therefore AC\perp BC$，$\therefore AC$，$BC$，$CC_1$两两垂直，以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CC_1}$的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系（图略），则$C(0,0,0)$，$A(3,0,0)$，$C_1(0,0,4)$，$B(0,4,0)$，$\therefore\overrightarrow{AC}=(-3,0,0)$，$\overrightarrow{BC_1}=(0,-4,4)$.$\therefore\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC_1}=0$，$\therefore\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC_1}$，$\therefore AC\perp BC_1$.
(2)【解】假设在线段$AB$上存在点D，使得$AC_1\perp CD$.设$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}=(-3\lambda,4\lambda,0)$，其中$\lambda\in[0,1]$，则$D(3 - 3\lambda,4\lambda,0)$，于是$\overrightarrow{CD}=(3 - 3\lambda,4\lambda,0)$.$\because\overrightarrow{AC_1}=(-3,0,4)$，且$\overrightarrow{AC_1}\perp\overrightarrow{CD}$，$\therefore - 9 + 9\lambda = 0$，解得$\lambda = 1$.$\therefore$在线段$AB$上存在点D，使得$AC_1\perp CD$，且这时点D与点B重合.