《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

12. 已知圆$M:x^{2}+y^{2}-2ax - 2by + a^{2}-1 = 0$与圆$N:x^{2}+y^{2}+2x + 2y - 2 = 0$交于$A$，$B$两点，且这两点平分圆$N$的圆周，则圆$M$的半径最小时圆$M$的方程为______________.

答案： $(x + 1)^{2}+(y + 2)^{2}=5$ 【解析】两圆公共弦$AB$所在的直线方程为$(2 + 2a)x+(2 + 2b)y - a^{2}-1=0$，又$A$，$B$两点平分圆$N$的圆周，$\therefore$直线$AB$经过圆心$N(-1,-1)$，把点$N$的坐标代入直线方程可得$(a + 1)^{2}=-2(b + 2)$.
又$(a + 1)^{2}=-2(b + 2)\geqslant0$，$\therefore b\leqslant - 2$.
$\therefore$圆$M$的半径$r=\sqrt{b^{2}+1}\geqslant\sqrt{5}$，
$\therefore$当$r=\sqrt{5}$时，圆$M$半径最小，此时$b=-2$，$a=-1$，故所求圆$M$的方程为$(x + 1)^{2}+(y + 2)^{2}=5$.

13. [浙江金华2024高二月考]已知圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-4x - 6y + 9 = 0$.
(1)过点$P(3,5)$作圆$C_{1}$的切线$l$，求直线$l$的方程；
(2)若圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}+2x - 4y - 4 = 0$与圆$C_{1}$相交于$A$，$B$两点，求$|AB|$.

答案：
【解】
(1)圆$C_{1}$的方程可化为$(x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=4$，
则圆心$C_{1}(2,3)$，半径为 2，
由$(3 - 2)^{2}+(5 - 3)^{2}＞4$，可知点$P$在圆$C_{1}$的外部，作出圆$C_{1}$及过点$P$的切线如图所示，

由图可知，过点$P$的切线$l$的斜率存在，设$l$的方程为$y - 5=k(x - 3)$，即$kx - y + 5 - 3k=0$，
则圆心$C_{1}$到直线$l$的距离为$\frac{|2k - 3 + 5 - 3k|}{\sqrt{1 + k^{2}}}=2$，解得$k = 0$或$k=-\frac{4}{3}$，所以直线$l$的方程为$4x + 3y - 27=0$或$y = 5$.
(2)由$\begin{cases}x^{2}+y^{2}-4x - 6y + 9=0,\\x^{2}+y^{2}+2x - 4y - 4=0,\end{cases}$
两式相减得直线$AB$的方程为$6x + 2y - 13=0$，
则圆心$C_{1}$到直线$AB$的距离$d=\frac{|12 + 6 - 13|}{\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，所以$|AB|=2\sqrt{4 - d^{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

14. [湖北武汉华中师大一附中2024高二期中]已知圆$C_{1}:(x - a)^{2}+(y + 3)^{2}=9$与圆$C_{2}:(x + b)^{2}+(y + 1)^{2}=1$相外切，则$ab$的最大值为 （ ）
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{5}{2}$
D. 3

答案： D 【解析】圆$C_{1}:(x - a)^{2}+(y + 3)^{2}=9$的圆心$C_{1}(a,-3)$，半径$r_{1}=3$，
圆$C_{2}:(x + b)^{2}+(y + 1)^{2}=1$的圆心$C_{2}(-b,-1)$，半径$r_{2}=1$，
依题意，$|C_{1}C_{2}|=r_{1}+r_{2}=4$，
于是$(a + b)^{2}+2^{2}=4^{2}$，即$12=a^{2}+b^{2}+2ab\geqslant2ab + 2ab=4ab$，因此$ab\leqslant3$，当且仅当$a = b=\pm\sqrt{3}$时取等号，
所以$ab$的最大值为 3. 故选 D.

15. 已知$P$，$Q$分别为圆$M:(x - 6)^{2}+(y - 3)^{2}=4$与圆$N:(x + 4)^{2}+(y - 2)^{2}=1$上的动点，$A$为$x$轴上的动点，则$|AP|+|AQ|$的最小值为 （ ）
A. $\sqrt{101}-3$
B. $5\sqrt{5}-3$
C. $7\sqrt{5}-3$
D. $\frac{7}{2}$

答案：
B 【解析】如图，作圆$N$关于$x$轴对称的圆$G$，连接$MG$交$x$轴于点$A$(即点$O$)，连接$AN$，圆$G:(x + 4)^{2}+(y + 2)^{2}=1$，圆心$G$为$(-4,-2)$，圆心$M$为$(6,3)$.
则$|AP|+|AQ|$的最小值为$|MG|-1 - 2=\sqrt{10^{2}+5^{2}}-3=5\sqrt{5}-3$，故选 B.

16. [福建泉州2024高二期中]已知圆$M:(x - \sqrt{a})^{2}+(y - \sqrt{a})^{2}=9$，点$A(-2,0)$，$B(2,0)$，在圆$M$上存在点$P$，使得$\angle APB=\frac{\pi}{2}$，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $[1,25]$
B. $[1,5]$
C. $[\frac{1}{2},\frac{25}{2}]$
D. $[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}]$

答案：
C 【解析】如图，构造圆$O:x^{2}+y^{2}=4$，当圆$O$与圆$M$有公共点$P$时，$\angle APB=\frac{\pi}{2}$，即圆$O$与圆$M$的关系可以为相切或相交，所以$\begin{cases}3 - 2\leqslant\sqrt{a + a}\leqslant3 + 2,\\a\geqslant0,\end{cases}$解得$\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant\frac{25}{2}$. 故选 C.

17. [山东青岛二中2024高二期中]在平面直角坐标系$xOy$中，圆$C$的方程为$x^{2}+y^{2}-8x + 15 = 0$. 若直线$y = kx - 2$上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆$C$有公共点，则$k$的最大值是________.

答案： $\frac{4}{3}$ 【解析】圆$C$的标准方程为$(x - 4)^{2}+y^{2}=1$，圆心为$(4,0)$，则题中条件可转化为圆$C$的圆心到直线$y = kx - 2$的距离不大于 2，则$\frac{|4k - 2|}{\sqrt{k^{2}+1}}\leqslant2$，
整理得$3k^{2}-4k\leqslant0$，解得$0\leqslant k\leqslant\frac{4}{3}$.
故$k$的最大值是$\frac{4}{3}$.

18. 若圆$C_{1}:(x - a)^{2}+y^{2}=r^{2}(r＞0)$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}=4r^{2}(r＞0)$相切，则实数$a$的值为 （ ）
A. $\pm3r$
B. $\pm r$
C. $\pm3r$或$\pm r$
D. $3r$或$r$

答案： C 【解析】圆$C_{1}$的圆心为$(a,0)$，半径为$r$，圆$C_{2}$的圆心为$(0,0)$，半径为$2r$.
①当两圆外切时，有$|a|=3r$，此时$a=\pm3r$.
②当两圆内切时，有$|a|=r$，此时$a=\pm r$.
综上，当$a=\pm3r$时，两圆外切；当$a=\pm r$时，两圆内切. 故选 C.

19. 已知圆$O_{1}:x^{2}+y^{2}+2x + 6y + 9 = 0$，圆$O_{2}:x^{2}+y^{2}-6x + 2y + 1 = 0$，求两圆的公切线方程.

答案： 【解】由题知，圆$O_{1}$的圆心$O_{1}(-1,-3)$，半径$r_{1}=1$；圆$O_{2}$的圆心$O_{2}(3,-1)$，半径$r_{2}=3$，则$|O_{1}O_{2}|=\sqrt{(3 + 1)^{2}+(-1 + 3)^{2}}=2\sqrt{5}＞r_{1}+r_{2}$，
所以两圆外离，所以两圆有四条公切线.
当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为$y = kx + b$，即$kx - y + b=0$，
则$\begin{cases}\frac{|-k + 3 + b|}{\sqrt{1 + k^{2}}}=1,\\\frac{|3k + 1 + b|}{\sqrt{1 + k^{2}}}=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 0,\\b=-4\end{cases}$或$\begin{cases}k=\frac{4}{3},\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=-\frac{5}{2}\end{cases}$
当公切线的斜率不存在时，直线$x = 0$也和两圆相切.
所以所求切线方程为$y + 4=0$，$4x - 3y=0$，$x = 0$，$3x + 4y + 10=0$.
【易错警示】易忽略斜率不存在时公切线的方程，可先判断出两圆的位置关系，确定公切线的条数. 若求得的直线条数少于确定的条数，则一定有斜率不存在的切线.