《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 正三棱锥A - BCD的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是 （ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： B 【解析】设正三棱锥A - BCD的底面正三角形BCD的中心为O，棱长为a，则∠ACO就是侧棱AC与底面BCD所成的角，计算得tan∠ACO = √2.

2. (多选)[贵州凯里一中2023高二月考]在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，下列说法正确的是 （ ）
A. $BC_{1}\perp DA_{1}$
B. $BC_{1}\perp CA_{1}$
C. $BC_{1}$与平面$AA_{1}C_{1}C$所成的角为$\frac{\pi}{4}$
D. $BC_{1}$与平面ABCD所成的角为$\frac{\pi}{4}$

答案：
ABD 【解析】对A选项，连接B₁C，如图①，
∵A₁B₁//C₁D₁，A₁B₁ = C₁D₁，C₁D₁//CD，C₁D₁ = CD，
∴A₁B₁//CD，A₁B₁ = CD，
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，
∴A₁D//B₁C.
∵B₁C⊥BC₁，
∴BC₁⊥DA₁，故A正确.

对B选项，由题可得CD⊥平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BC₁. 又CD∩A₁D = D，CD，A₁D⊂平面A₁B₁CD，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，又CA₁⊂平面A₁B₁CD，
∴BC₁⊥CA₁，故B正确.
对C选项，连接BD，交AC于点O，连接C₁O，如图②.
∵A₁A⊥底面ABCD，BO⊂平面ABCD，
∴A₁A⊥BO.
∵BO⊥AC，A₁A∩AC = A，A₁A，AC⊂平面AA₁C₁C，
∴BO⊥平面AA₁C₁C.
∴BC₁与平面AA₁C₁C所成的角为∠BC₁O. 设正方体的棱长为1，则BO = √2 / 2，BC₁ = √2，
∴sin∠BC₁O = BO / BC₁ = (√2 / 2) / √2 = 1 / 2.
∵∠BC₁O∈(0, π / 2)，
∴∠BC₁O = π / 6，故C错误.
对D选项，
∵C₁C⊥底面ABCD，
∴BC₁与平面ABCD所成的角为∠C₁BC. 易知△BCC₁为等腰直角三角形，
∴∠C₁BC = π / 4，故D正确. 故选ABD.

3. 直线l与平面$\alpha$所成的角是45°，若直线l在$\alpha$内的射影与$\alpha$内的直线m所成的角是45°，则l与m所成的角是 （ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°

答案： C 【解析】由题意，θ₁ = 45°，θ₂ = 45°. 由cosθ = cosθ₁·cosθ₂，得cosθ = 1 / 2，
∴θ = 60°. 故选C.

4. [辽宁省实验中学2024高二期中]已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 （ ）
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$

答案：
B 【解析】如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD，

作CG⊥PD于点G，CH⊥PA于点H，连接HG，
易得CG⊥PA，又CH∩CG = C，CH，CG⊂平面CHG，则PA⊥平面CHG，又HG⊂平面CHG，则PA⊥HG，
则有
$\begin{cases}\cos\angle CPA=\frac{PH}{PC}, \\\cos\angle CPD\times\cos\angle APD=\frac{PG}{PC}\cdot\frac{PH}{PG}=\frac{PH}{PC},\end{cases}$
故cos∠CPA = cos∠CPD×cos∠APD.
已知∠APC = 60°，易得∠APD = 30°，
故cos∠CPD = cos∠CPA / cos∠APD = cos60° / cos30° = √3 / 3，又∠CPD即为直线PC与平面PAB所成的角，故所求角的余弦值为√3 / 3. 故选B.
【多种解法】如图所示，把PA，PB，PC放在正方体中，PA，PB，PC的夹角均为60°.

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则P(1,0,0)，C(0,0,1)，A(1,1,1)，B(0,1,0)，
所以$\overrightarrow{PC}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{PA}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{PB}=(-1,1,0)$，
设平面PAB的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PA}=y + z = 0, \\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PB}=-x + y = 0,\end{cases}$
令x = 1，则y = 1，z = -1，所以$\boldsymbol{n}=(1,1,-1)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{PC},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{PC}\cdot\boldsymbol{n}}{\vert\overrightarrow{PC}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert}=\frac{-2}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
设直线PC与平面PAB所成角为θ，
则sinθ = $\vert\cos\langle\overrightarrow{PC},\boldsymbol{n}\rangle\vert=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以cosθ = $\sqrt{1 - \sin^{2}\theta}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 故选B.

5. [河南商丘二中2024高二月考]在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，直线$BC_{1}$与平面$A_{1}BD$所成角的正弦值为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案：
D 【解析】设正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A₁(1,0,1)，B(1,1,0)，C₁(0,1,1)，$\overrightarrow{BC_{1}}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{DA_{1}}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$.
设平面A₁BD的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DA_{1}}=x + z = 0, \\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DB}=x + y = 0,\end{cases}$
得平面A₁BD的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1,-1)$.
设直线BC₁与平面A₁BD所成的角为θ，
则sinθ = $\frac{\vert\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BC_{1}}\vert}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\overrightarrow{BC_{1}}\vert}=\frac{2}{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. 故选D.

6. [山东聊城一中2024高二开学考试]在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\triangle ABC$为等边三角形，$AA_{1}=AB$，M是$A_{1}C_{1}$的中点，则AM与平面$BCC_{1}B_{1}$所成角的正弦值为 （ ）
A. $\frac{7}{10}$
B. $\frac{\sqrt{15}}{10}$
C. $\frac{\sqrt{85}}{10}$
D. $-\frac{\sqrt{15}}{10}$

答案：
B 【解析】如图所示，取AC的中点D，连接DM，BD，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

不妨设AC = 2，则A(0,-1,0)，C(0,1,0)，M(0,0,2)，B(-√3,0,0)，所以$\overrightarrow{AM}=(0,1,2)$，$\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{DM}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{BC}=(\sqrt{3},1,0)$. 设平面BCC₁B₁的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CC_{1}}=0, \\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BC}=0,\end{cases}$
即
$\begin{cases}2z = 0, \\\sqrt{3}x + y = 0,\end{cases}$
取x = √3 / 2，则y = -3 / 2，z = 0，所以$\boldsymbol{n}=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2},0)$.
设AM与平面BCC₁B₁所成角为α，向量$\overrightarrow{AM}$与$\boldsymbol{n}$所成的角为θ，所以sinα = $\vert\cos\theta\vert=\frac{\vert\overrightarrow{AM}\cdot\boldsymbol{n}\vert}{\vert\overrightarrow{AM}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{10}$，即AM与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为√15 / 10. 故选B.
【归纳总结】求直线与平面所成角的方法
(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角.
(2)向量法：sinθ = $\vert\cos\langle\overrightarrow{AB},\boldsymbol{n}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{AB}\cdot\boldsymbol{n}\vert}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert}$（其中$\overrightarrow{AB}$为直线AB的方向向量，$\boldsymbol{n}$为平面α的法向量，θ为直线AB与平面α所成的角），进一步，可根据θ∈[0, π / 2]确定角θ的大小.

7. [山东济宁2024高二期中]如图，在正四棱锥S - ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的射影，P为侧棱SD的中点，且$SO = OC$，则直线CD与平面PAC的夹角是 （ ）
A. 45° B. 90° C. 30° D. 60°
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
C 【解析】如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间坐标系Oxyz.

设OD = SO = OA = OB = OC = a，
则A(0,-a,0)，C(0,a,0)，D(-a,0,0)，S(0,0,a)，P(-a / 2,0,a / 2)，
则$\overrightarrow{CA}=(0,-2a,0)$，$\overrightarrow{AP}=(-\frac{a}{2},a,\frac{a}{2})$，$\overrightarrow{CD}=(-a,-a,0)$.
设平面PAC的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CA}=0$，$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0$，
∴
$\begin{cases}-2ay = 0, \\-\frac{a}{2}x + ay+\frac{a}{2}z = 0,\end{cases}$
可取$\boldsymbol{n}=(1,0,1)$.
设直线CD与平面PAC的夹角为θ，
则sinθ = $\vert\cos\langle\overrightarrow{CD},\boldsymbol{n}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{CD}\cdot\boldsymbol{n}\vert}{\vert\overrightarrow{CD}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert}=\frac{\vert - a\vert}{\sqrt{2a^{2}}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，又0°≤θ≤90°，
∴θ = 30°. 故选C.

8. [浙江杭师大附中2024高二期中]如图，在三棱锥S - ABC中，$SC\perp$平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，$PM = AC = 1$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，直线AM与直线SC所成的角为60°.
(1)求SC的长；
(2)求直线CM与平面AMP所成角的正弦值.
　　　

答案：
【解】
(1)由SC⊥平面ABC，且∠ACB = 90°，可得AC，BC，SC两两垂直，
如图，以C为坐标原点，AC，BC，SC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设SC = 2a(a＞0)，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，S(0,0,2a)，M(0,1,a)，P(0,0,a)，
可得$\overrightarrow{AM}=(-1,1,a)$，$\overrightarrow{CS}=(0,0,2a)$，
所以$\vert\cos\langle\overrightarrow{AM},\overrightarrow{CS}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CS}\vert}{\vert\overrightarrow{AM}\vert\vert\overrightarrow{CS}\vert}=\frac{2a^{2}}{\sqrt{2 + a^{2}}\times2a}=\frac{1}{2}$，解得a = √6 / 3，
所以SC = 2a = 2√6 / 3.
(2)由
(1)可得$\overrightarrow{AP}=(-1,0,\frac{\sqrt{6}}{3})$，$\overrightarrow{PM}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{CM}=(0,1,\frac{\sqrt{6}}{3})$，
设平面AMP的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AP}=-x+\frac{\sqrt{6}}{3}z = 0, \\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PM}=y = 0,\end{cases}$
令x = √2，则y = 0，z = √3，
可得$\boldsymbol{n}=(\sqrt{2},0,\sqrt{3})$，
则$\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{CM}\rangle=\frac{\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CM}}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\overrightarrow{CM}\vert}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{6}}{5}$，所以直线CM与平面AMP所成角的正弦值为√6 / 5.
【归纳总结】求空间角的常用方法
(1)定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
(2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量)的余弦值，再进行转化求出结果.

9. 已知向量$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$分别是直线l的方向向量和平面$\alpha$的法向量. 若$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，则l与$\alpha$所成角的大小为________.

答案： 60° 【解析】设l与α所成角为θ，则sinθ = $\vert\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle\vert=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ = 60°.

10. 平面$\alpha$的斜线l与它在这个平面上的射影$l'$的方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(1,0,1)$，$\boldsymbol{b}=(0,1,1)$，则斜线l与平面$\alpha$所成角的大小为________.

答案： 60° 【解析】由线面角的含义知，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$即为线面所成角或其补角.
∵$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}=\frac{(1,0,1)\cdot(0,1,1)}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}\times\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{2}$，
∴$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 60°$. 故斜线l与平面α所成角的大小为60°.
【易错警示】易忽略向量夹角和直线与平面所成角之间的非等量关系. 若直线的方向向量为$\boldsymbol{v}$，平面法向量为$\boldsymbol{n}$，直线与平面所成角为θ，则sinθ = $\vert\cos\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle\vert$，当$\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle\in(0,\frac{\pi}{2})$时，θ = $\frac{\pi}{2}-\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle$；当$\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle\in(\frac{\pi}{2},\pi)$时，θ = $\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle-\frac{\pi}{2}$.