《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

13. [湖北武汉华师大一附中2024高二期末]已知两条异面直线的方向向量分别是 u=(-3,1,-2)，v=(3,2,1)，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ）
A. sin θ=$\frac{9}{14}$
B. cos θ=$\frac{9}{14}$
C. sin θ=-$\frac{\sqrt{115}}{14}$
D. cos θ=-$\frac{9}{14}$

答案： B 【解析】$\because$两条异面直线的方向向量分别是$\boldsymbol{u}=(-3,1,-2)$，$\boldsymbol{v}=(3,2,1)$，$\therefore\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=-3\times3 + 1\times2 + (-2)\times1=-9$，$|\boldsymbol{u}|=\sqrt{(-3)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{14}$，$|\boldsymbol{v}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{14}$，又两条异面直线所成的角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle|=\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}=\left|\frac{-9}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}\right|=\frac{9}{14}$，则$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\frac{\sqrt{115}}{14}$. 故选B.

14. [山东德州一中2024阶段性测试]
如图，在直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，
AA₁ = 2AB = 2AC，且 AB⊥AC，D，E 分别是棱 BC，BB₁ 的中点，则异面直线 A₁D 与 C₁E 所成角的正弦值是（ ）

A. $\frac{\sqrt{57}}{9}$
B. $\frac{\sqrt{6}}{6}$
C. $\frac{2\sqrt{6}}{9}$
D. $\frac{\sqrt{30}}{6}$

答案：
A 【解析】如图所示，以A为坐标原点，$AB$，$AC$，$AA_1$所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设$AC = 2$， 则$A_1(0,0,4)$，$D(1,1,0)$，$C_1(0,2,4)$，$E(2,0,2)$，$\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-4)$，$\overrightarrow{C_1E}=(2,-2,-2)$，$\cos\langle\overrightarrow{A_1D},\overrightarrow{C_1E}\rangle=\frac{\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{C_1E}}{|\overrightarrow{A_1D}||\overrightarrow{C_1E}|}=\frac{2 - 2 + 8}{\sqrt{18}\times\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$，则异面直线$A_1D$与$C_1E$所成角的正弦值是$\sqrt{1-\cos^{2}\langle\overrightarrow{A_1D},\overrightarrow{C_1E}\rangle}=\frac{\sqrt{57}}{9}$. 故选A.

15. [辽宁沈阳重点高中联合体2023高二期中]已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是边长为2的正方形，SD⊥平面 ABCD，棱 AB，SC 的中点分别为 E，F。若直线 EC 与 BF 所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 SD =（ ）
A. 2
B. $\frac{3}{2}$
C. 4
D. 1

答案：
C 【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系$Dxyz$. 设$SD = t(t\gt0)$，则$B(2,2,0)$，$C(0,2,0)$，$S(0,0,t)$，$E(2,1,0)$，所以$F(0,1,\frac{t}{2})$，所以$\overrightarrow{EC}=(-2,1,0)$，$\overrightarrow{BF}=(-2,-1,\frac{t}{2})$.因为直线$EC$与$BF$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以$|\cos\langle\overrightarrow{EC},\overrightarrow{BF}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{BF}|}=\frac{|4 - 1 + 0|}{\sqrt{4 + 1}\times\sqrt{4 + 1+\frac{t^{2}}{4}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得$t = 4$（负值舍去），即$SD = 4$. 故选C.

16. (多选)已知 m，n 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 m，n 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则（ ）
A. 直线 AB 与 m 所成角的最小值为$\frac{\pi}{4}$
B. 直线 AB 与 m 所成角的最大值为$\frac{\pi}{3}$
C. 当直线 AB 与 m 的夹角为$\frac{\pi}{3}$时，AB 与 n 的夹角为$\frac{\pi}{3}$
D. 当直线 AB 与 m 的夹角为$\frac{\pi}{2}$时，AB 与 n 的夹角为$\frac{\pi}{4}$

答案：
ACD
【解析】由题意知，$m$，$n$，$AC$三条直线两两相互垂直，画出图形如图. 不妨设图中所示正方体的棱长为1，故$AC = 1$，$AB=\sqrt{2}$，斜边$AB$以直线$AC$为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.以C为坐标原点，$CD$所在直线为x轴，$CB$所在直线为y轴，$CA$所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则$D(1,0,0)$，$A(0,0,1)$，直线$m$的单位方向向量$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$，$|\boldsymbol{m}| = 1$，直线$n$的单位方向向量$\boldsymbol{n}=(1,0,0)$，$|\boldsymbol{n}| = 1$. 设B点在运动过程中的坐标为$B'(\cos\theta,\sin\theta,0)$，其中$\theta$为$B'C$以$CD$为始边，点C为旋转中心逆时针旋转的角，则$\theta\in[0,2\pi)$，$\therefore\overrightarrow{AB'}=(\cos\theta,\sin\theta,-1)$，$|\overrightarrow{AB'}|=\sqrt{2}$，设$AB'$与$m$所成的角为$\alpha$，则$\alpha\in[0,\frac{\pi}{2}]$，则$\cos\alpha=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AB'}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{AB'}|}=\frac{|(\cos\theta,\sin\theta,-1)\cdot(0,1,0)|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}|\sin\theta|\in[0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$，$\therefore\alpha\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$，$\therefore$A正确，B错误.设$AB'$与$n$所成的角为$\beta$，则$\beta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\cos\beta=\frac{|\overrightarrow{AB'}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AB'}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|(\cos\theta,\sin\theta,-1)\cdot(1,0,0)|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos\theta|$，当$AB'$与$m$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，即$\alpha=\frac{\pi}{3}$时，$|\sin\theta|=\sqrt{2}\cos\alpha=\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.$\because\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1$，$\therefore|\cos\theta|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos\theta|=\frac{1}{2}$，$\because\beta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\therefore\beta=\frac{\pi}{3}$，此时直线$AB'$与$n$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，故C正确.当$AB'$与$m$的夹角为$\frac{\pi}{2}$，即$\alpha=\frac{\pi}{2}$时，$|\sin\theta|=\sqrt{2}\cos\alpha = 0$，$\because\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1$，$\therefore|\cos\theta| = 1$，$\therefore\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos\theta|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\because\beta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\therefore\beta=\frac{\pi}{4}$，此时直线$AB'$与$n$的夹角为$\frac{\pi}{4}$，故D正确. 故选ACD.

17. [辽宁沈阳2024高二月考]已知异面直线 l₁，l₂ 的方向向量分别为 m=(0,2,1)，n=(-1,1,-2)，则 l₁，l₂ 的夹角大小为________.

答案： $\frac{\pi}{2}$ 【解析】因为$\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}=0\times(-1)+2\times1 + 1\times(-2)=0$，故$\boldsymbol{m}\perp\boldsymbol{n}$，所以$l_1\perp l_2$，故$l_1$，$l_2$的夹角大小为$\frac{\pi}{2}$.

18. 在三棱锥 O - ABC 中，OA，OB，OC 两两互相垂直，E 为 OC 的中点，且 2OA = OB = OC = 2，求直线 AE 与 BC 所成角的大小(用两种方法解答).

答案：
【解】方法一：由题知，以O为原点，$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由$2OA = OB = OC = 2$，知$A(1,0,0)$，$E(0,0,1)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,2)$，所以$\overrightarrow{AE}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{BC}=(0,-2,2)$，所以$|\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{1\times2}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\times\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=\frac{1}{2}$，所以直线$AE$与$BC$所成角的大小为$\frac{\pi}{3}$.

方法二：取$OB$的中点F，连接$EF$，$AF$，由$E$，$F$分别为$OC$，$OB$的中点，可知$EF$是$\triangle OBC$的中位线，所以$EF// BC$，所以$\angle AEF$或其补角为直线$AE$与$BC$所成角，又易知$OA = OE = OF = 1$，而$OA$，$OE$，$OF$两两互相垂直，所以$AE = EF = AF=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，所以$\triangle AEF$是等边三角形，从而$\angle AEF=\frac{\pi}{3}$，所以直线$AE$与$BC$所成角的大小为$\frac{\pi}{3}$.

【规律方法】求异面直线所成的角主要有两种方法：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线所成的角，再利用平面几何性质求解.

19. 已知两条空间直线 a，b 的夹角为60°，a，b 分别为直线 a，b 的方向向量，则〈a,b〉=________.

答案： $60^{\circ}$或$120^{\circ}$ 【解析】由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 60^{\circ}$或$120^{\circ}$.

20. 已知两异面直线 l₁ 和 l₂ 的方向向量分别为 v₁ 和 v₂，若 cos〈v₁,v₂〉=-$\frac{1}{2}$，则 l₁ 与 l₂ 所成角的大小为________.

答案： $60^{\circ}$ 【解析】由题可知，$\cos\langle\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\rangle=-\frac{1}{2}$，由异面直线夹角的范围可得$l_1$与$l_2$所成角的大小为$60^{\circ}$.