《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [辽宁营口2024高二期中]若直线l的方程为2x + y + 3 = 0,则直线l在y轴上的截距为 ( )
A. $\frac{3}{2}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. 3
D. -3

答案： D 【解析】在2x + y + 3 = 0中，令x = 0，得y = -3，故直线l在y轴上的截距为-3. 故选D.

2. 若方程$(2m^{2}+m - 3)x+(m^{2}-m)y - 4m + 1 = 0$表示一条直线,则实数m满足 ( )
A. $m\neq0$
B. $m\neq-\frac{3}{2}$
C. $m\neq1$
D. $m\neq1,m\neq-\frac{3}{2},m\neq0$

答案： C 【解析】因为方程(2m² + m - 3)x + (m² - m)y - 4m + 1 = 0表示一条直线，所以2m² + m - 3 = 0，m² - m = 0不能同时成立，解得m ≠ 1.

3. (多选)[浙江金华2024高二月考]已知直线l: $Ax + By + C = 0$,其中A,B不全为0,则下列说法正确的是 ( )
A. 当C = 0时,l过坐标原点
B. 当AB＞0时,l的倾斜角为锐角
C. 当B = 0,C≠0时,l和x轴平行
D. 若直线l过点$P(x_{0},y_{0})$,则直线l的方程可化为$A(x - x_{0})+B(y - y_{0}) = 0$

答案： AD 【解析】选项A，当C = 0时，$\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$是方程Ax + By = 0的一个解，即直线l过坐标原点，故A正确；
选项B，当AB＞0时，直线l:Ax + By + C = 0的方程可化为y = -$\frac{A}{B}$x - $\frac{C}{B}$，则直线l的斜率k = -$\frac{A}{B}$＜0，倾斜角为钝角，故B错误；
选项C，当B = 0，C ≠ 0时，由A，B不全为0，得A ≠ 0，则直线l:Ax + By + C = 0的方程可化为x = -$\frac{C}{A}$，故直线l和x轴垂直，不平行，故C错误；
选项D，直线l过点P(x₀,y₀)，则Ax₀ + By₀ + C = 0，可得C = -Ax₀ - By₀，代入直线方程Ax + By + C = 0，得Ax + By - Ax₀ - By₀ = 0，即A(x - x₀)+B(y - y₀)=0，故D正确. 故选AD.

4. [安徽合肥一中2024高二期中]若AB＜0,BC＞0,则直线$Ax - By - C = 0$不经过的象限是 ( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： A 【解析】由Ax - By - C = 0，得y = $\frac{A}{B}$x - $\frac{C}{B}$，又AB＜0，BC＞0，则直线的斜率$\frac{A}{B}$＜0，在y轴上的截距-$\frac{C}{B}$＜0，所以直线Ax - By - C = 0经过第二、三、四象限，不经过第一象限. 故选A.

5. 已知直线$Ax + By + C = 0$的斜率为5,且$A - 2B + 3C = 0$,则该直线方程为 ( )
A. $15x - 3y - 7 = 0$
B. $15x + 3y - 7 = 0$
C. $3x - 15y - 7 = 0$
D. $3x + 15y - 7 = 0$

答案： A 【解析】由题意得$\begin{cases}-\frac{A}{B}=5\\A - 2B + 3C = 0\end{cases}$，所以$\begin{cases}A = -5B\\C = \frac{7}{3}B\end{cases}$，所以直线方程为-5x + y + $\frac{7}{3}$=0，即15x - 3y - 7 = 0.

6. 直线$l_{1}:ax - y + b = 0$,$l_{2}:bx + y - a = 0(ab\neq0)$的位置可能是 ( )

答案： B 【解析】令y = 0，得直线l₁，l₂与x轴的交点的横坐标分别为x₁ = -$\frac{b}{a}$，x₂ = $\frac{a}{b}$，符号一正一负，观察图象可知，只有选项B符合要求.

7. 求分别满足下列条件的直线l的一般式方程：
(1)斜率是$\frac{3}{4}$,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过点$A(1,0)$,$B(m,1)$;
(3)经过点$(4,-3)$,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.

答案： 【解】
(1)设直线l的方程为y = $\frac{3}{4}$x + b. 令x = 0，得y = b；令y = 0，得x = -$\frac{4}{3}$b.
∴$\frac{1}{2}\left|b\cdot\left(-\frac{4}{3}b\right)\right|$=6，解得b = ±3.
∴直线l的方程为y = $\frac{3}{4}$x ± 3，化为一般式为3x - 4y ± 12 = 0.
(2)当m ≠ 1时，直线l的方程为$\frac{y - 0}{1 - 0}$=$\frac{x - 1}{m - 1}$，即y = $\frac{1}{m - 1}$(x - 1)；当m = 1时，直线l的方程为x = 1.
综上，所求直线l的方程为x - (m - 1)y - 1 = 0或x - 1 = 0.
(3)设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
当a ≠ 0，b ≠ 0时，直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1.
∵直线过点(4,-3)，
∴$\frac{4}{a}$-$\frac{3}{b}$=1.
又
∵|a| = |b|，
∴$\begin{cases}\frac{4}{a}-\frac{3}{b}=1\\a = ±b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = 7\\b = -7\end{cases}$.
当a = b = 0时，直线l过原点且过点(4,-3)，
∴l的方程为y = -$\frac{3}{4}$x.
综上所述，直线l的方程为x + y - 1 = 0或x - y - 7 = 0或3x + 4y = 0.
【规律方法】根据已知条件，明确表示直线方程的相关元素，再确定要采用的直线方程类型.
已知过一点P(x₀,y₀)和斜率k:y - y₀ = k(x - x₀)；
已知斜率k与y轴上的截距b:y = kx + b；
已知过不同的两点P₁(x₁,y₁)与P₂(x₂,y₂):$\frac{y - y₁}{y₂ - y₁}$=$\frac{x - x₁}{x₂ - x₁}$(x₁ ≠ x₂，y₁ ≠ y₂)；
已知x轴与y轴上的截距分别为a，b:$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a ≠ 0，b ≠ 0).

8. [江苏无锡第一中学2023高二期中]不论实数m为何值,直线$mx - 2y - 2m + 1 = 0$恒过定点 ( )
A. $(-2,\frac{1}{2})$
B. $(-2,-\frac{1}{2})$
C. $(2,-\frac{1}{2})$
D. $(2,\frac{1}{2})$

答案： D 【解析】由mx - 2y - 2m + 1 = 0可得m(x - 2)-2y + 1 = 0，
由x - 2 = 0可得x = 2，此时y = $\frac{1}{2}$，
所以直线恒过定点(2,$\frac{1}{2}$). 故选D.

9. [教材变式][河北石家庄一中2024高二期中]不论k为任何实数,直线$(2k - 1)x-(k + 3)y-(k - 11) = 0$恒过定点. 若直线$mx + ny = 2$过此定点,其中m,n是正实数,则$\frac{3}{m}+\frac{1}{2n}$的最小值是 ( )
A. $\frac{21}{4}$
B. $\frac{27}{4}$
C. $\frac{21}{2}$
D. $\frac{27}{2}$

答案： B 【解析】由方程(2k - 1)x - (k + 3)y - (k - 11)=0整理得(2x - y - 1)k - x - 3y + 11 = 0，所以$\begin{cases}2x - y - 1 = 0\\-x - 3y + 11 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$，即直线恒过定点(2,3).
因为直线mx + ny = 2过此定点，其中m，n是正实数，所以2m + 3n = 2，
则$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2}\left(\frac{3}{m}+\frac{1}{2n}\right)(2m + 3n)$
=$\frac{1}{2}\left(6+\frac{3}{2}+\frac{9n}{m}+\frac{m}{n}\right)$
≥$\frac{1}{2}\left(\frac{15}{2}+2\sqrt{\frac{9n}{m}\cdot\frac{m}{n}}\right)=\frac{27}{4}$，
当且仅当m = 3n = $\frac{2}{3}$时取等号，故选B.
【链接教材】本题由教材P102上方第3题演变而来，解决含参直线过定点的问题，要点是分离参数，即整式按照是否含参合并同类项，并使参数系数与常数项均为0(目的是使定点坐标与参数无关)，构造方程组，解出定点坐标.

10. [福建漳州2024高二月考]已知点$A(2,-3)$,$B(-3,-2)$. 若直线l:$mx + y - m - 1 = 0$与线段AB相交,则实数m的取值范围是 ( )
A. $(-\infty,-\frac{3}{4}]\cup[4,+\infty)$
B. $[-\frac{3}{4},4]$
C. $(\frac{1}{5},+\infty)$
D. $[-4,\frac{3}{4}]$

答案：
A 【解析】如图所示. 设直线l过定点P(x,y)，直线l:mx + y - m - 1 = 0可变形为m(x - 1)+y - 1 = 0，
令$\begin{cases}x - 1 = 0\\y - 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，故直线l必过定点P(1,1). 又A(2,-3)，B(-3,-2)，所以直线PA的斜率kₚₐ = $\frac{-3 - 1}{2 - 1}$= -4，直线PB的斜率kₚ₈ = $\frac{-2 - 1}{-3 - 1}$=$\frac{3}{4}$.
已知直线l:mx + y - m - 1 = 0与线段AB相交，结合图象知，-m ≥ $\frac{3}{4}$或-m ≤ -4，解得m ≤ -$\frac{3}{4}$或m ≥ 4，则实数m的取值范围是(-∞,-$\frac{3}{4}$]∪[4,+∞). 故选A.