《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [江西师大附中2024高二期中]已知圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-2x + 4y = 4$，圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}+6x - 8y = 0$，则圆$C_{1}$，$C_{2}$的位置关系为 （ ）
A. 内含
B. 外切
C. 相交
D. 外离

答案： C 【解析】圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-2x + 4y = 4$，化为$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=9$，圆心为$C_{1}(1,-2)$，半径为$r_{1}=3$；圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}+6x - 8y = 0$，化为$(x + 3)^{2}+(y - 4)^{2}=25$，圆心为$C_{2}(-3,4)$，半径为$r_{2}=5$。两圆心距离为$|C_{1}C_{2}|=\sqrt{(1 + 3)^{2}+(-2 - 4)^{2}}=2\sqrt{13}$，因为$r_{2}-r_{1}=2＜2\sqrt{13}＜8=r_{1}+r_{2}$，所以圆$C_{1}$与圆$C_{2}$相交. 故选 C.

2. (多选)已知$b\in R$，圆$C_{1}:(x - 1)^{2}+(y - b)^{2}=4$，圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}=1$，则 （ ）
A. 两圆可能外离
B. 两圆可能相交
C. 两圆可能内切
D. 两圆可能内含

答案： ABC 【解析】圆$C_{1}:(x - 1)^{2}+(y - b)^{2}=4$的圆心为$C_{1}(1,b)$，半径$r_{1}=2$；圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}=1$的圆心为$C_{2}(0,0)$，半径$r_{2}=1$，则$|C_{1}C_{2}|=\sqrt{1 + b^{2}}\geqslant1$，$r_{1}+r_{2}=3$，$r_{1}-r_{2}=1$.
当$b^{2}＞8$时，$|C_{1}C_{2}|＞r_{1}+r_{2}$，两圆外离；
当$0＜b^{2}＜8$时，$r_{1}-r_{2}＜|C_{1}C_{2}|＜r_{1}+r_{2}$，两圆相交；
当$b^{2}=0$时，$|C_{1}C_{2}|=r_{1}-r_{2}$，两圆内切；
当$b^{2}=8$时，$|C_{1}C_{2}|=r_{1}+r_{2}$，两圆外切.
综上所述，两圆可能外离，可能相交，可能内切，可能外切，不可能内含. 故选 ABC.

3. [陕西西安2024高二联考]已知$P$是圆$C:x^{2}+y^{2}=1$上一点，$Q$是圆$D:(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=3$上一点，则$|PQ|$的最小值为 （ ）
A. 1
B. $4 - \sqrt{3}$
C. 2
D. $3 - \sqrt{3}$

答案： B 【解析】因为$C(0,0)$，$D(3,-4)$，所以$|CD|=5$，且两圆的半径分别为$r_{1}=1$，$r_{2}=\sqrt{3}$，$r_{1}+r_{2}＜|CD|$，即两圆外离，所以$|PQ|$的最小值为$|CD|-r_{1}-r_{2}=5 - 1-\sqrt{3}=4-\sqrt{3}$. 故选 B.

4. [山东淄博实验中学2024高二期中]圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 1 = 0$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-2y - 3 = 0$的公切线条数为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B 【解析】两圆的圆心分别为$C_{1}(2,-1)$，$C_{2}(0,1)$，
半径分别为$r_{1}=\frac{\sqrt{16 + 4 - 4}}{2}=2$，$r_{2}=\frac{\sqrt{0 + 4 + 12}}{2}=2$，圆心距$|C_{1}C_{2}|=2\sqrt{2}$，
所以$r_{1}-r_{2}＜|C_{1}C_{2}|＜r_{1}+r_{2}$，所以两圆相交，有 2 条公切线. 故选 B.

5. [河南南阳2024高二月考]以点$C(3,-4)$为圆心，且与圆$x^{2}+y^{2}=1$相外切的圆的方程为 （ ）
A. $(x + 3)^{2}+(y + 4)^{2}=4$
B. $(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=16$
C. $(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=16$
D. $(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=4$

答案： B 【解析】由题意可知，两圆的圆心距为$\sqrt{(3 - 0)^{2}+(-4 - 0)^{2}}=5$，设圆$C$的半径为$r$，因为两圆相外切，所以$5=r + 1$，得$r = 4$，所以圆$C$的方程为$(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=16$. 故选 B.

6. 已知$\odot O_{1}:x^{2}+(y - 1)^{2}=1$与$\odot O_{2}:(x - a)^{2}+(y - 2)^{2}=9$有且仅有3条公切线，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $(-\infty,-\sqrt{15})\cup(\sqrt{15},+\infty)$
B. $(-\sqrt{15},-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\sqrt{15})$
C. $\{-\sqrt{15},\sqrt{15}\}$
D. $\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$

答案： C 【解析】根据题意，$\odot O_{1}:x^{2}+(y - 1)^{2}=1$，圆心为$(0,1)$，半径$r_{1}=1$，$\odot O_{2}:(x - a)^{2}+(y - 2)^{2}=9$，圆心为$(a,2)$，半径$r_{2}=3$.
若两圆有且仅有 3 条公切线，则两圆相外切，因此有$\sqrt{(a - 0)^{2}+(2 - 1)^{2}}=\sqrt{a^{2}+1}=1 + 3=4$，
解得$a=\pm\sqrt{15}$，即实数$a$的取值范围为$\{-\sqrt{15},\sqrt{15}\}$，故选 C.

7. [四川绵阳南山中学2024高二期中]已知圆$C_{1}:(x - a)^{2}+y^{2}=36$与圆$C_{2}:x^{2}+(y - 2)^{2}=4$内切，则$a =$________.

答案： $\pm2\sqrt{3}$ 【解析】由圆$C_{1}:(x - a)^{2}+y^{2}=36$知，圆心为$C_{1}(a,0)$，半径为$r_{1}=6$，由圆$C_{2}:x^{2}+(y - 2)^{2}=4$知，圆心为$C_{2}(0,2)$，半径为$r_{2}=2$，因为两圆内切，故$|C_{1}C_{2}|=|r_{1}-r_{2}|$，即$\sqrt{a^{2}+4}=4$，解得$a=\pm2\sqrt{3}$.

8. 已知两圆$x^{2}+y^{2}=1$和$x^{2}+(y - a)^{2}=16(a＞0)$相交，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $(1,15)$
B. $[1,15]$
C. $(3,5)$
D. $[3,5]$

答案： C 【解析】由圆$x^{2}+y^{2}=1$，知圆心为$(0,0)$，半径$r_{1}=1$，
由圆$x^{2}+(y - a)^{2}=16(a＞0)$，知圆心为$(0,a)$，半径$r_{2}=4$，
所以根据两圆相交得，$r_{2}-r_{1}＜a＜r_{2}+r_{1}$，则$3＜a＜5$. 故选 C.

9. (多选)圆$O:x^{2}+y^{2}=4$与圆$M:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4$的公切线的方程可能为 （ ）
A. $x - 2y + 2\sqrt{5}=0$
B. $2x - y - \sqrt{5}=0$
C. $2x - y - 2\sqrt{5}=0$
D. $2x - y + 2\sqrt{5}=0$

答案： CD 【解析】圆$O$的圆心为$O(0,0)$，半径为$r_{1}=2$，圆$M$的圆心为$M(1,2)$，半径$r_{2}=2$，
由题意得$|OM|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，圆$O$与圆$M$的半径之和为$2 + 2=4$，半径之差为 0，
因为$0＜\sqrt{5}＜4$，所以圆$O$与圆$M$相交.
由题意得$k_{OM}=2$，因为圆$O$与圆$M$的半径相等，所以公切线的斜率为 2.
设公切线的方程为$y = 2x + b$，即$2x - y + b=0$，由$\frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{5}}=2$，得$b=\pm2\sqrt{5}$，
所以公切线的方程为$2x - y + 2\sqrt{5}=0$或$2x - y - 2\sqrt{5}=0$. 故选 CD.

10. 在坐标平面内，与点$A(1,2)$的距离为1，且与点$B(3,1)$的距离为2的直线共有 （ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： B 【解析】满足要求的直线应为圆心为$A$，半径为 1 和圆心为$B$，半径为 2 的两圆的公切线，又$|AB|=\sqrt{(3 - 1)^{2}+(1 - 2)^{2}}=\sqrt{5}$，$1＜\sqrt{5}＜3$，所以圆$A$与圆$B$相交，所以公切线有 2 条.

11. (多选)[山东新泰一中2024高二质量检测]已知圆$O:x^{2}+y^{2}=4$和圆$M:x^{2}+y^{2}+4x - 2y + 4 = 0$，下列说法正确的是 （ ）
A. 两圆的公共弦所在直线的方程为$y = 2x + 2$
B. 圆$O$上有2个点到直线$x + y + 2 = 0$的距离为$\sqrt{2}$
C. 两圆有两条公切线
D. 点$E$在圆$O$上，点$F$在圆$M$上，$|EF|$的最大值为$\sqrt{5}+3$

答案： BCD 【解析】因为圆$O:x^{2}+y^{2}=4$，所以圆心$O(0,0)$，半径为$R = 2$，
因为圆$M:x^{2}+y^{2}+4x - 2y + 4=0$，可化为$(x + 2)^{2}+(y - 1)^{2}=1$，所以圆心$M(-2,1)$，半径为$r = 1$. 对于 A，两圆的方程作差得$4x - 2y + 4=-4$，即$y = 2x + 4$，所以两圆公共弦所在的直线方程为$y = 2x + 4$，故 A 错误；
对于 B，圆心$O(0,0)$到直线$x + y + 2=0$的距离为$d=\frac{|2|}{\sqrt{1 + 1}}=\sqrt{2}$，则$R - d=2-\sqrt{2}＜\sqrt{2}$，所以圆$O$上有 2 个点到直线$x + y + 2=0$的距离为$\sqrt{2}$，故 B 正确；
对于 C，因为$2 - 1＜|OM|=\sqrt{5}＜2 + 1$，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故 C 正确；
对于 D，$|EF|_{\max}=|OM|+2 + 1=\sqrt{5}+3$，故 D 正确. 故选 BCD.