《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

9.［天津实验中学滨海学校2024高二期中］已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点A是椭圆短轴的一个端点，且$\cos\angle F_1AF_2=\frac{5}{6}$，则椭圆的离心率为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
D. $\frac{\sqrt{33}}{6}$

答案： C 【解析】由题意可知$\vert AF_{1}\vert=\vert AF_{2}\vert=\sqrt{\vert OA\vert^{2}+\vert F_{1}O\vert^{2}}=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=a$,$\vert F_{1}F_{2}\vert=2c$. 在$\triangle AF_{1}F_{2}$中,由余弦定理得$4c^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos\angle F_{1}AF_{2}$,化简得$4c^{2}=\frac{1}{3}a^{2}$,则$e^{2}=\frac{1}{12}$,所以$e=\frac{\sqrt{3}}{6}$,故选C.

10.［四川泸州2024高二期末］已知$F_1$，$F_2$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点，点M为线段$OF_2$的中点（O为坐标原点），点P在椭圆上且满足$PF_2\perp x$轴，点M到直线$PF_1$的距离为$\frac{1}{2}b$，则椭圆的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{1}{2}$或$\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{3}$

答案： A 【解析】
∵$PF_{2}\perp x$轴,
∴将x = c代入椭圆方程可得y = $\pm\frac{b^{2}}{a}$,
∴不妨设P($c,\frac{b^{2}}{a}$),
∴直线$PF_{1}$的斜率为$\frac{\frac{b^{2}}{a}-0}{c-(-c)}=\frac{b^{2}}{2ac}$,
则直线$PF_{1}$的方程为$y=\frac{b^{2}}{2ac}(x + c)$,即$b^{2}x-2acy + b^{2}c = 0$,
则M($\frac{c}{2}$,0)到直线$PF_{1}$的距离为$\frac{\vert\frac{b^{2}c}{2}+b^{2}c\vert}{\sqrt{b^{2}+4a^{2}c^{2}}}=\frac{1}{2}b$,
整理得$(a^{2})^{2}+10(c^{2})^{2}-7a^{2}c^{2}=0$,
∴1 + 10$e^{4}-7e^{2}=0$,解得$e^{2}=\frac{1}{2}$或$e^{2}=\frac{1}{5}$,即$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$e=\frac{\sqrt{5}}{5}$,则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故选A.

11.（多选）［山东日照2023高二期中校际联考］如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角$\theta = 60^{\circ}$的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是（ ）

A. 椭圆的长轴长为8
B. 椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. 椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$
D. 椭圆的一个方程可能为$\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{16}=1$

答案： BD 【解析】由题意易知椭圆的短半轴长b = 4,因为截面与底面所成的角$\theta = 60^{\circ}$,所以椭圆的长轴长2a = $\frac{2\times4}{\cos60^{\circ}} = 16$,则a = 8,所以c = $\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{64 - 16}=4\sqrt{3}$,离心率$\frac{c}{a}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 当以椭圆的中心为原点,椭圆的长轴所在直线为x轴,短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时,椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{16}=1$. 故选BD.

12.［吉林长春外国语2024高二月考］设F是椭圆$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的右焦点，A是椭圆E的左顶点，P为直线$x = \frac{3a}{2}$上一点，$\triangle APF$是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为________.

答案：
$\frac{2}{3}$ 【解析】不妨设点P在第一象限,如图,设直线x = $\frac{3a}{2}$与x轴的交点为C. 由题意得$\vert PF\vert=\vert AF\vert=a + c$,$\vert FC\vert=\vert OC\vert-\vert OF\vert=\frac{3a}{2}-c$.
又由题意可知$\angle PFC = 60^{\circ}$,
所以$\cos\angle PFC=\frac{\vert FC\vert}{\vert PF\vert}=\frac{\frac{3a}{2}-c}{a + c}=\frac{1}{2}$,
所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$.

13.［辽宁大连2024高二期中］已知$F_1$，$F_2$是椭圆的两个焦点，满足$\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}=0$的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. (0,1)
B. $(0,\frac{1}{2})$
C. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$
D. $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案： C 【解析】
∵$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}} = 0$,
∴$\overrightarrow{MF_{1}}\perp\overrightarrow{MF_{2}}$,
∴点M在以$F_{1}F_{2}$为直径的圆上.
又点M在椭圆的内部,
∴c ＜ b,
∴$c^{2}＜b^{2}=a^{2}-c^{2}$,即$2c^{2}＜a^{2}$,
∴$\frac{c^{2}}{a^{2}}＜\frac{1}{2}$,即$\frac{c}{a}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$. 又椭圆的离心率e∈(0,1),
∴$e\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$.

14. 已知直线$l:y = kx$与椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A. $[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
B. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$
C. $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
D. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$

答案： C 【解析】由AF与BF垂直,运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半,可得$\vert OA\vert=\vert OF\vert=c$. 由$\vert OA\vert＞b$即c ＞ b,可得$c^{2}＞b^{2}=a^{2}-c^{2}$,即$c^{2}＞\frac{1}{2}a^{2}$. 又椭圆离心率$e=\frac{c}{a}$且e∈(0,1),所以$\frac{\sqrt{2}}{2}＜e＜1$. 故选C.

15.［山西大同2024高二期中］已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点A，B在C上，四边形$AF_1F_2B$是等腰梯形，$|AF_1| = |F_1F_2|$，$\angle BAF_1＜\frac{\pi}{3}$，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A. $(0,\frac{1}{3})$
B. $(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}-1}{2})$
C. $(\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3})$
D. $(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{2})$

答案：
B 【解析】依题意得AB$// F_{1}F_{2}$,如图,连接$AF_{2}$.

由椭圆性质知,椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离,
于是2c = $\vert F_{1}F_{2}\vert=\vert AF_{1}\vert＞a - c$,解得$e=\frac{c}{a}＞\frac{1}{3}$,$\vert AF_{2}\vert=2a-\vert AF_{1}\vert=2a - 2c$.
在$\triangle AF_{1}F_{2}$中,$\angle F_{2}AF_{1}=\angle AF_{2}F_{1}=\angle BAF_{2}=\frac{1}{2}\angle BAF_{1}＜\frac{\pi}{6}$,
所以$\cos\angle F_{2}AF_{1}=\frac{\frac{1}{2}\vert AF_{2}\vert}{\vert AF_{1}\vert}=\frac{a - c}{2c}＞\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得$e=\frac{c}{a}＜\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$,
所以C的离心率e的取值范围是$(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}-1}{2})$. 故选B.

16. 已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$.若椭圆上存在一点P使$\frac{a}{\sin\angle PF_1F_2}=\frac{c}{\sin\angle PF_2F_1}$，则该椭圆的离心率的取值范围为________.

答案： ($\sqrt{2}-1$,1) 【解析】在$\triangle PF_{1}F_{2}$中,由正弦定理知$\frac{\sin\angle PF_{1}F_{2}}{\sin\angle PF_{2}F_{1}}=\frac{\vert PF_{2}\vert}{\vert PF_{1}\vert}$.
因为$\frac{a}{\sin\angle PF_{1}F_{2}}=\frac{c}{\sin\angle PF_{2}F_{1}}$,椭圆离心率$e=\frac{c}{a}$,所以$\frac{\vert PF_{2}\vert}{\vert PF_{1}\vert}=\frac{a}{c}=\frac{1}{e}$,即$\vert PF_{1}\vert=e\vert PF_{2}\vert$. ①
又因为点P在椭圆上,所以$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert=2a$.
将①代入可得$\vert PF_{2}\vert=\frac{2a}{e + 1}$.
又0＜e＜1,所以$\vert PF_{2}\vert＞a$,
又$\vert PF_{2}\vert＜a + c$,所以a＜$\vert PF_{2}\vert＜a + c$,两边同除以a得1＜$\frac{2}{e + 1}＜1 + e$,所以$\sqrt{2}-1＜e＜1$.
【归纳总结】椭圆离心率范围的求解是考查的热点,常见的解题方法有利用几何特征建立不等关系或建立目标函数求解. 利用几何法建立不等关系式时注意题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边),同时注意椭圆定义的应用.

17. 已知点$F_1$，$F_2$是椭圆$x^{2}+2y^{2}=2$的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么$|\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}|$的最小值是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. $2\sqrt{2}$

答案： C 【解析】设P($x_{0}$,$y_{0}$),则$\overrightarrow{PF_{1}}=(-1 - x_{0},-y_{0})$,$\overrightarrow{PF_{2}}=(1 - x_{0},-y_{0})$,
∴$\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}=(-2x_{0},-2y_{0})$,
∴$\vert\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}\vert=\sqrt{4x_{0}^{2}+4y_{0}^{2}}=2\sqrt{2 - 2y_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=2\sqrt{-y_{0}^{2}+2}$.
∵点P在椭圆上,
∴0≤$y_{0}^{2}\leq1$,
∴当$y_{0}^{2}=1$时,$\vert\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}\vert$取得最小值2. 故选C.

18. 已知椭圆$E:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的一个顶点为H(2,0)，对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得$MP\perp MH$，则实数t的取值范围是________.

答案： (-2,-1) 【解析】设M($x_{0}$,$y_{0}$)(-2＜$x_{0}$＜2),则$\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1$. ①
$\overrightarrow{MP}=(t - x_{0},-y_{0})$,$\overrightarrow{MH}=(2 - x_{0},-y_{0})$,
由MP⊥MH可得$\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MH}=0$,即(t - $x_{0}$)(2 - $x_{0}$)+$y_{0}^{2}=0$. ②
由①②消去$y_{0}$,整理得t(2 - $x_{0}$)=-$\frac{1}{4}x_{0}^{2}+2x_{0}-3$.
因为$x_{0}\neq2$,所以$t=\frac{1}{4}x_{0}-\frac{3}{2}$.
因为-2＜$x_{0}$＜2,所以-2＜t＜-1.
所以实数t的取值范围为(-2,-1).