《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [天津武清区2024高二期中]圆$x^{2}+y^{2}-2x - 5 = 0$的圆心和半径分别为 （ ）
A. $(1,0),2$
B. $(1,0),\sqrt{6}$
C. $(-1,0),2$
D. $(-1,0),\sqrt{6}$

答案： B 【解析】由$x^{2}+y^{2}-2x - 5 = 0$可得$(x - 1)^{2}+y^{2}=6$，所以该圆的圆心为$(1,0)$，半径为$\sqrt{6}$。故选 B。

2. [湖北武汉华中师大一附中2024高二期中]“$k＞4$”是“方程$x^{2}+y^{2}+kx+(k - 2)y + 5 = 0$表示圆”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A 【解析】若$x^{2}+y^{2}+kx+(k - 2)y + 5 = 0$表示圆，则$k^{2}+(k - 2)^{2}-4×5＞0$，解得$k＜-2$或$k＞4$。因此由$k＞4$可以推出$x^{2}+y^{2}+kx+(k - 2)y + 5 = 0$表示圆，满足充分性；由$x^{2}+y^{2}+kx+(k - 2)y + 5 = 0$表示圆不能推出$k＞4$，不满足必要性。所以“$k＞4$”是“方程$x^{2}+y^{2}+kx+(k - 2)y + 5 = 0$表示圆”的充分不必要条件。故选 A。

3. 已知圆$x^{2}+y^{2}+2k^{2}x + 2y + 4k = 0$关于直线$y = x$对称,则$k$的值为 （ ）
A. -1
B. 1
C. $\pm1$
D. 0

答案： A 【解析】将圆的一般方程$x^{2}+y^{2}+2k^{2}x + 2y + 4k = 0$化为标准方程得$(x + k^{2})^{2}+(y + 1)^{2}=k^{4}-4k + 1$，则圆心坐标为$(-k^{2},-1)$。
∵圆$x^{2}+y^{2}+2k^{2}x + 2y + 4k = 0$关于直线$y = x$对称，
∴直线$y = x$经过圆心，
∴$-k^{2}=-1$，解得$k=\pm1$。
当$k = 1$时，$k^{4}-4k + 1＜0$，不符合题意，
∴$k=-1$。
故选 A。

4. [广东深圳2024高二期中]由曲线$x^{2}+y^{2}=2|x| + 2y$围成的图形的面积为 （ ）
A. $2\pi$
B. $3\pi$
C. $2\pi + 3$
D. $3\pi + 2$

答案：
D
【思路导引】曲线方程中有绝对值，首先要去掉绝对值符号，分$x\geq0$，$x＜0$两种情况写出曲线方程，再作出曲线，求出面积。
【解析】由题知，当$x\geq0$时，曲线为$x^{2}+y^{2}=2x + 2y$，即$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=2$；当$x＜0$时，曲线为$x^{2}+y^{2}=-2x + 2y$，即$(x + 1)^{2}+(y - 1)^{2}=2$。画出曲线$x^{2}+y^{2}=2|x|+2y$如图，由图知，所求面积为两个圆的面积减去重叠部分的面积。又两圆的半径均为$r=\sqrt{2}$，两圆关于$y$轴对称，故所求面积为$2\pi r^{2}-2\cdot(\frac{1}{4}\pi r^{2}-\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2})=3\pi + 2$。故选 D。

5. [山东青岛2024高二月考]已知实数$x,y$满足方程$x^{2}+y^{2}-2x = 0$,则$\frac{y + 1}{x + 1}$的最大值是 （ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. 0
D. $\frac{1}{2}$

答案：
B 【解析】方程$x^{2}+y^{2}-2x = 0$可化为$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$，它表示圆心$(1,0)$，半径为 1 的圆。
$\frac{y + 1}{x + 1}$表示圆上的点与点$P(-1,-1)$的连线的斜率$k$。
设过圆上的点与点$P(-1,-1)$的直线方程为$y + 1=k(x + 1)$，则圆心$(1,0)$到直线$y + 1=k(x + 1)$的距离$d=\frac{|2k - 1|}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq1$，可得$0\leq k\leq\frac{4}{3}$，即最大值为$\frac{4}{3}$。故选 B。

6. 过$A(0,0),B(1,1),C(4,2)$三点的圆的一般方程是 （ ）
A. $x^{2}+y^{2}+8x + 6y = 0$
B. $x^{2}+y^{2}-8x - 6y = 0$
C. $x^{2}+y^{2}+8x - 6y = 0$
D. $x^{2}+y^{2}-8x + 6y = 0$

答案： D 【解析】设所求的圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$，因为$A(0,0)$，$B(1,1)$，$C(4,2)$三点在圆上，所以$\begin{cases}F = 0\\D + E + F+2 = 0\\4D + 2E + F+20 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}D=-8\\E = 6\\F = 0\end{cases}$，于是所求圆的一般方程是$x^{2}+y^{2}-8x + 6y = 0$。故选 D。

7. [山东聊城2024高二期中]与圆$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 3 = 0$同圆心,且过点$(1,-1)$的圆的方程是 （ ）
圆的一般方程
　　　　　　　　0视频微课
A. $x^{2}+y^{2}-2x + 4y - 4 = 0$
B. $x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 4 = 0$
C. $x^{2}+y^{2}+2x - 4y - 4 = 0$
D. $x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 4 = 0$

答案： B 【解析】设所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + m = 0$，由该圆过点$(1,-1)$，得$m = 4$，所以所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 4 = 0$。故选 B。

8. 已知圆$C$经过两点$A(0,2),B(4,6)$,且圆心$C$在直线$l:2x - y - 3 = 0$上,则圆$C$的方程为 （ ）
A. $x^{2}+y^{2}-6x - 6y - 16 = 0$
B. $x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 8 = 0$
C. $x^{2}+y^{2}-6x - 6y + 8 = 0$
D. $x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 56 = 0$

答案： C 【解析】线段$AB$的中点坐标为$(2,4)$，直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{6 - 2}{4 - 0}=1$，则线段$AB$的垂直平分线的方程为$y - 4=-(x - 2)$，即$x + y - 6 = 0$。
由$\begin{cases}x + y - 6 = 0\\2x - y - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 3\end{cases}$，所以圆$C$的圆心为$(3,3)$，半径$r=\sqrt{(3 - 0)^{2}+(3 - 2)^{2}}=\sqrt{10}$，所以圆$C$的方程为$(x - 3)^{2}+(y - 3)^{2}=10$，即$x^{2}+y^{2}-6x - 6y + 8 = 0$。故选 C。

9. [山东临沂第一中学2023高二期中]圆$C:x^{2}+y^{2}-4x - 2y + 4 = 0$关于直线$y = x + 1$对称的圆$C'$的一般方程为________.

答案： $x^{2}+y^{2}-6y + 8 = 0$ 【解析】由$x^{2}+y^{2}-4x - 2y + 4 = 0$，得$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=1$，即$C(2,1)$，半径为 1。设点$C$关于直线$y = x + 1$的对称点为$C'(x,y)$，可得$\begin{cases}\frac{y - 1}{x - 2}\times1=-1\\\frac{y + 1}{2}=\frac{x + 2}{2}+1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 0\\y = 3\end{cases}$，即$C'(0,3)$，故圆$C'$的标准方程为$x^{2}+(y - 3)^{2}=1$，则圆$C'$的一般方程为$x^{2}+y^{2}-6y + 8 = 0$。

10. [四川成都2024高二期中]已知$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别是$A(1,1),B(4,2),C(3,0)$,则$\triangle ABC$外接圆的方程是________.

答案： $x^{2}+y^{2}-5x - 3y + 6 = 0$或$(x-\frac{5}{2})^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{2}$ 【解析】设$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$，其中$D^{2}+E^{2}-4F＞0$。
由题意得$\begin{cases}1 + 1+D + E + F = 0\\16 + 4+4D + 2E + F = 0\\9 + 3D + F = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}D=-5\\E=-3\\F = 6\end{cases}$，满足$D^{2}+E^{2}-4F＞0$，
所以$\triangle ABC$外接圆的方程为$x^{2}+y^{2}-5x - 3y + 6 = 0$。
【多种解法】依题意，直线$AC$的斜率$k_{AC}=\frac{0 - 1}{3 - 1}=-\frac{1}{2}$，直线$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{0 - 2}{3 - 4}=2$，则$k_{AC}\cdot k_{BC}=-1$，即$AC\perp BC$。因此$\triangle ABC$的外接圆是以线段$AB$为直径的圆。线段$AB$的中点为$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$，半径$r=\frac{1}{2}|AB|=\frac{\sqrt{10}}{2}$，所以$\triangle ABC$外接圆的方程是$(x-\frac{5}{2})^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{2}$。

11. 在平面直角坐标系$xOy$中,二次函数$f(x)=x^{2}+2x + b(x\in\mathbf{R})$的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为$C$. 求：
(1)实数$b$的取值范围.
(2)圆$C$的方程.
(3)问圆$C$是否经过某定点(其坐标与$b$无关)? 请证明你的结论.

答案： 【解】
(1)由题得$\begin{cases}b\neq0\\\Delta = 4 - 4b＞0\end{cases}$，即$b＜1$且$b\neq0$，故实数$b$的取值范围为$(-\infty,0)\cup(0,1)$。
(2)设圆$C$的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$，令$y = 0$，得$x^{2}+Dx + F = 0$，$\therefore D = 2$，$F = b$。
令$x = 0$，得$y^{2}+Ey + b = 0$，把$y = b$代入，得$b^{2}+Eb + b = 0$，即$E=-(1 + b)$。
$\therefore$圆$C$的方程为$x^{2}+y^{2}+2x-(1 + b)y + b = 0$。
(3)由题意，可得$(1 - y)b+x^{2}+y^{2}+2x - y = 0$对任意的$b\in(-\infty,0)\cup(0,1)$恒成立，$\therefore\begin{cases}1 - y = 0\\x^{2}+y^{2}+2x - y = 0\end{cases}$
即$\begin{cases}x = 0\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\\y = 1\end{cases}$，故圆$C$经过定点$(0,1)$和$(-2,1)$。