《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 已知抛物线C:$x^{2}=2py(p ＞ 0)$的焦点为F，抛物线C上一点P(m,1)到焦点F的距离为$\frac{5}{4}$，则p的值为 （ ）
A. 2
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$

答案： C 【解析】根据题意可得$\frac{p}{2}+1=\frac{5}{4}$，解得$p = \frac{1}{2}$. 故选 C.

2. 已知F是抛物线C:$y^{2}=8x$的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N. 若M是FN的中点，则点M的纵坐标为 （ ）
A. $2\sqrt{2}$
B. 4
C. $\pm 2\sqrt{2}$
D. $\pm 4$

答案： C 【解析】由题意得抛物线$C:y^{2}=8x$的焦点$F(2,0)$. 由$M$是$FN$的中点，可知点$M$的横坐标为 1，则点$M$的纵坐标为$\pm2\sqrt{2}$，故选 C.

3. [浙江绍兴2024高二期中]已知F为抛物线C:$y^{2}=4x$的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A,B两点. 若|AB| = 8，则线段AB的中点M到直线x + 1 = 0的距离为 （ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16

答案：
B 【解析】如图，抛物线$y^{2}=4x$的焦点为$F(1,0)$，准线为直线$x = - 1$，即$x + 1 = 0$.

过$A,B$作准线的垂线，垂足分别为$C,D$，则有$|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD| = 8$. 过$AB$的中点$M$作准线的垂线，垂足为$N$，则$MN$为直角梯形$ABDC$的中位线，则$|MN|=\frac{1}{2}(|AC|+|BD|)=4$，即点$M$到准线$x + 1 = 0$的距离为 4. 故选 B.

4. (多选) [湖南师范大学附属中学2023高二月考]已知抛物线C:$x^{2}=4y$的焦点为F，O为坐标原点，点M(x₀,y₀)在抛物线C上，若|MF| = 5，则 （ ）
A. F的坐标为(1,0)
B. y₀ = 4
C. |OM| = $4\sqrt{2}$
D. 以MF为直径的圆与x轴相切

答案： BCD 【解析】对于抛物线$C:x^{2}=4y$，可得$p = 2,\frac{p}{2}=1$，且焦点在$y$轴正半轴上，则点$F(0,1)$，A 错误；由抛物线的定义可得$|MF|=y_{0}+1 = 5$，可得$y_{0}=4$，B 正确；由$y_{0}=4$可知$x_{0}^{2}=16$，可得$x_{0}=\pm4$，所以$|OM|=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=4\sqrt{2}$，C 正确；因为$MF$的中点坐标为$(\pm2,\frac{5}{2})$，则点$(\pm2,\frac{5}{2})$到$x$轴的距离$d=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}|MF|$，所以以$MF$为直径的圆与$x$轴相切，D 正确. 故选 BCD.

5. [甘肃张掖重点学校2024高二月考]抛物线$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于点M，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为________.（用含p的代数式表示）

答案：
$\sqrt{2}p$ 【解析】由题意可知，$F(\frac{p}{2},0)$，准线方程为$x = -\frac{p}{2}$，$N(-\frac{p}{2},0)$，不妨设$P(x,\sqrt{2px})$，$\because$四边形$PMNF$为平行四边形，$\therefore|PM|=|NF|$，$\therefore x = p$，$\therefore$点$P$到$x$轴的距离为$\sqrt{2}p$.

6. 已知抛物线$y^{2}=2x$.
（1）设点A的坐标为$(\frac{2}{3},0)$，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设点A的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d = f(a)的函数表达式.

答案： 【解】
(1)设抛物线上任一点$P$的坐标为$(x,y)$，则$|PA|^{2}=(x - \frac{2}{3})^{2}+y^{2}=(x - \frac{2}{3})^{2}+2x=(x+\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{3}$.因为$x\in[0,+\infty)$，且在此区间上$|PA|^{2}$随着$x$的增大而增大，所以当$x = 0$时，$|PA|_{\min}=\frac{2}{3}$，故距离点$A$最近的点$P$的坐标为$(0,0)$，最短距离是$\frac{2}{3}$.
(2)设抛物线上任一点$Q$的坐标为$(x,y)$，则$|QA|^{2}=(x - a)^{2}+y^{2}=(x - a)^{2}+2x=[x-(a - 1)]^{2}+2a - 1$.当$a - 1\geq0$，即$a\geq1$时，$d^{2}=2a - 1$，解得$d=\sqrt{2a - 1}$，此时$x = a - 1$；当$a - 1\lt0$，即$a\lt1$时，$d^{2}=a^{2}$，解得$d = |a|$，此时$x = 0$.所以$d = f(a)=\begin{cases}\sqrt{2a - 1},a\geq1\\|a|,a\lt1\end{cases}$.

7. 过抛物线$y^{2}=4x$的焦点作直线交抛物线于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点. 如果x₁ + x₂ = 6，那么|AB| = （ ）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10

答案： B 【解析】由题意知，抛物线$y^{2}=4x$的焦点为$F(1,0)$.$\because$过抛物线$y^{2}=4x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点，$\therefore|AB|=x_{1}+x_{2}+2$. 又$\because x_{1}+x_{2}=6$，$\therefore|AB|=x_{1}+x_{2}+2 = 8$. 故选 B.

8. 过抛物线$y^{2}=4x$的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A. 有且仅有一条
B. 有且仅有两条
C. 有无穷多条
D. 不存在

答案： B 【解析】由抛物线的性质知$|AB|=5 + 2 = 7$，$\because$当焦点弦与$x$轴垂直时，焦点弦最短，$\therefore$焦点弦的最短弦长为 4，$\therefore$这样的直线有两条.

9. [陕西师大附中2024高二期中]过抛物线$y^{2}=4x$的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，交其准线于点C，且A,C位于x轴同侧. 若|AC| = 2|AF|，则|BF|等于 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案：
C 【解析】抛物线$y^{2}=4x$的焦点$F(1,0)$，准线$l:x = - 1$，设准线$l$与$x$轴交于点$H$，过点$A,B$分别作$AD\perp l,BE\perp l$，垂足分别为$D,E$.由抛物线的定义可知，$|AF|=|AD|$，$|BF|=|BE|$，又$|AC|=2|AF|$，则$|AC|=2|AD|$，则$\angle ACD=\frac{\pi}{6}$，故$\angle CAD=\angle CFH=\frac{\pi}{3}$，又$|HF|=p = 2$，$\therefore\frac{|HF|}{|AD|}=\frac{|CF|}{|AC|}=\frac{3}{2}$，则$|AF|=|AD|=\frac{4}{3}$.又直线$AB$的方程为$y=\tan\frac{\pi}{3}(x - 1)=\sqrt{3}(x - 1)$，联立$\begin{cases}y^{2}=4x\\y=\sqrt{3}(x - 1)\end{cases}$，整理得$3x^{2}-10x + 3 = 0$，则$x_{1}+x_{2}=\frac{10}{3}$，由抛物线的性质可知，$|AB|=x_{1}+x_{2}+p=\frac{16}{3}$，$\therefore|AF|+|BF|=\frac{16}{3}$，$\therefore|BF|=\frac{16}{3}-\frac{4}{3}=4$，故选 C.

【多种解法】由$\angle ACD=\frac{\pi}{6}$得直线$AB$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，所以$|BF|=\frac{p}{1-\cos\theta}=\frac{2}{1-\cos\frac{\pi}{3}}=4$，故选 C.
【二级结论】设$AB$是过抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$焦点$F$的一条弦，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，直线$AB$的倾斜角为$\theta$，如图.
抛物线中的焦半径：
过$A$作$AA'\perp l$于$A'(l$为准线)，则$|AF|=|AA'|=p+|AF|\cos\theta$，$\therefore|AF|=\frac{p}{1-\cos\theta}$，同理，$|BF|=\frac{p}{1+\cos\theta}$.

抛物线中的焦点弦：$|AB|=|AF|+|BF|=\frac{p}{1-\cos\theta}+\frac{p}{1+\cos\theta}=\frac{2p}{1-\cos^{2}\theta}$.
若$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}$，则$|\cos\theta|=\left|\frac{\lambda - 1}{\lambda + 1}\right|$，当直线$AB$的斜率存在时，满足$1=\sqrt{k^{2}+1}\cdot\left|\frac{\lambda - 1}{\lambda + 1}\right|$（$k$为直线$AB$的斜率).

10. [北京海淀外国语实验学校2023高二月考]已知抛物线$y^{2}=4x$的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为________.

答案：
8 【解析】设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，抛物线$y^{2}=4x$的焦点为点$F(1,0)$，准线方程为$x = - 1$，则直线$AB$的方程为$y = x - 1$，如图.
由方程组$\begin{cases}y^{2}=4x\\y = x - 1\end{cases}$得$x^{2}-6x + 1 = 0$，则$x_{1}+x_{2}=6$.

设$A,B$到准线的距离分别为$d_{1}$，$d_{2}$，由抛物线定义可知$|AB|=|AF|+|BF|=d_{1}+d_{2}=x_{1}+x_{2}+2 = 8$，即弦$AB$的长为 8.
【多种解法】由题意知，直线$AB$的倾斜角$\alpha = 45^{\circ}$，则$|AB|=\frac{2p}{\sin^{2}\alpha}=\frac{4}{\sin^{2}45^{\circ}}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$.

11. 已知F是抛物线C:$y^{2}=4x$的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A,B两点. 若|AF| ＞ |BF|，则|AF|与|BF|的比值等于________.

答案： $3 + 2\sqrt{2}$ 【解析】由题得$|AF|=\frac{p}{1-\cos45^{\circ}}$，$|BF|=\frac{p}{1+\cos45^{\circ}}$，$\therefore|AF|:|BF|=\frac{1+\cos45^{\circ}}{1-\cos45^{\circ}}=3 + 2\sqrt{2}$.

12. 一个正三角形的两个顶点在抛物线$y^{2}=ax$ (a≠0)上，另一个顶点是坐标原点. 若这个三角形的面积为$36\sqrt{3}$，则a = ________.

答案： $\pm2\sqrt{3}$ 【解析】设正三角形的边长为$x$，则$36\sqrt{3}=\frac{1}{2}x^{2}\sin60^{\circ}$，解得$x = 12$.当$a\gt0$时，将$(6\sqrt{3},6)$代入$y^{2}=ax$，解得$a = 2\sqrt{3}$；当$a\lt0$时，将$(-6\sqrt{3},6)$代入$y^{2}=ax$得$a=-2\sqrt{3}$. 故$a=\pm2\sqrt{3}$.
【易错警示】若忽略焦点位置的讨论，则会导致漏解. 不仅需注意焦点在$x$轴上还是在$y$轴上，同时要注意焦点在正半轴上还是在负半轴上.