新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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7. 已知关于x的方程$x² - mx+(m - 2)=0$．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．
答案：(1) 判别式$\Delta = m² - 4(m - 2)=m² - 4m + 8=(m - 2)² + 4$，因为$(m - 2)²≥0$，所以$(m - 2)² + 4＞0$，即不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 把$x = 2$代入方程得$4 - 2m + m - 2 = 0$，解得$m = 2$，原方程为$x² - 2x = 0$，$x(x - 2)=0$，解得$x₁ = 2$，$x₂ = 0$，所以方程的另一个根为0。
1. 如图2-2，一根木棍OE垂直平分柱子AB，$AB = 200$cm，$OE = 260$cm，一只小猫C由柱子底端A点以2 cm/s的速度沿柱子AB向顶端B点爬行，同时，另一只小猫D由点O以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，小猫C爬到顶端B点后，停止爬行，小猫D也随之停止爬行．问：是否存在某一时刻，使以这两只小猫所在位置与点O为顶点的三角形的面积是1800 cm²？(小猫的位置可视为一点)
答案：存在，设t秒时，两只小猫所在位置与点O为顶点的三角形的面积是1800 cm²。小猫C爬行的距离为$2t$ cm，因为OE垂直平分AB，所以AO = 100 cm，OC = |100 - 2t| cm（当$t≤50$时，C在AO之间，OC = 100 - 2t；当$t＞50$时，C在OB之间，OC = 2t - 100），小猫D爬行的距离为$3t$ cm，OD = 3t cm。三角形面积为$\frac{1}{2}×OD×OC = 1800$，当$t≤50$时，$\frac{1}{2}×3t×(100 - 2t)=1800$，整理得$t² - 50t + 600 = 0$，解得$t₁ = 20$，$t₂ = 30$；当$t＞50$时，$\frac{1}{2}×3t×(2t - 100)=1800$，整理得$t² - 50t - 600 = 0$，解得$t₁ = 60$，$t₂ = -10$（舍去）。小猫C爬到顶端B点需要$\frac{200}{2}=100$秒，t=20、30、60均小于100，所以存在时刻，t=20秒、30秒或60秒时满足条件。
2. 龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？
答案：设应将每件上衣的售价降低x元，每件利润为$(200 - 120 - x)=(80 - x)$元，每降价5元多售出20件，降价x元多售出$\frac{x}{5}×20 = 4x$件，销售量为$(100 + 4x)$件。根据利润=（每件利润×销售量）-固定成本，可得$(80 - x)(100 + 4x)-3000 = 8000$，整理得$-4x² + 220x + 5000 = 8000$，$4x² - 220x + 3000 = 0$，$x² - 55x + 750 = 0$，解得$x₁ = 25$，$x₂ = 30$。为尽快减少库存，选择较大的降价幅度，$x = 30$，即应将每件上衣的售价降低30元。
