新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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2. 如图1-3-11，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.
(1)求证：BM=CM.
(2)当AB与AD满足什么样的数量关系时，四边形MENF是正方形？请说明理由.
答案：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°。∵M是AD中点，∴AM=DM。在△ABM和△DCM中，AB=CD，∠A=∠D，AM=DM，∴△ABM≌△DCM(SAS)，∴BM=CM。
(2)当AD=2AB时，四边形MENF是正方形。理由：∵E，F，N分别是BM，CM，BC中点，∴EN=MF=$\frac{1}{2}$CM，FN=ME=$\frac{1}{2}$BM，EN//CM，FN//BM，∴四边形MENF是平行四边形。∵BM=CM，∴ME=MF，∴平行四边形MENF是菱形。∵AD=2AB，AM=DM，∴AB=AM，∴△ABM是等腰直角三角形，∴∠AMB=45°，同理∠DMC=45°，∴∠BMC=180° - 45° - 45°=90°，∴菱形MENF是正方形。
3. 如图1-3-12，在△ABC的同侧分别以AB，BC，AC为一边作正方形ABDI、正方形BCFE、正方形ACHG.
(1)求证：△BDE≌△BAC.
(2)求证：四边形ADEG是平行四边形.
(3)直接回答下面两个问题，不必证明：
①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
答案：(1)证明：∵四边形ABDI、BCFE是正方形，∴BD=AB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=90°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠DBE=∠ABC。在△BDE和△BAC中，BD=AB，∠DBE=∠ABC，BE=BC，∴△BDE≌△BAC(SAS)。
(2)证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC，∠BDE=∠BAC。∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∠CAG=90°，∴DE=AG。∵∠ADB=90°，∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+∠BAC。∵∠DAG=360° - ∠BAD - ∠CAG - ∠BAC=360° - 90° - 90° - ∠BAC=180° - ∠BAC，∴∠ADE+∠DAG=90°+∠BAC+180° - ∠BAC=270°，此处修正为：∵∠ABD=90°，∠BAD=90°，∴AD//BG，∠BDE=∠BAC，∠EDA=∠BDE+∠ADB=∠BAC+90°，∠DAG=∠BAC+90°，∴∠EDA=∠DAG，∴DE//AG。∵DE=AG且DE//AG，∴四边形ADEG是平行四边形。
(3)①当∠BAC=90°时，四边形ADEG是矩形。②当∠BAC=90°且AB=AC时，四边形ADEG是正方形。
