新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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一、基础性作业
1. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( ).
A. 邻边相等
B. 对角线互相平分
C. 四个角都是直角
D. 对角线相等
答案：B
解析：矩形邻边不一定相等，A错误；菱形四个角不一定是直角，C错误；菱形对角线不一定相等，D错误；矩形、菱形、正方形都是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，B正确，选B．
2. 在正方形ABCD中，以CD为一边作等边三角形CDE，则∠AED的度数是( ).
A. 15°
B. 75°
C. 15°或75°
D. 25°或65°
答案：C
解析：当等边三角形CDE在正方形内部时，∠ADE=90° - 60°=30°，AD=DE，∴∠AED=(180° - 30°)/2=75°；当在外部时，∠ADE=90° + 60°=150°，AD=DE，∴∠AED=(180° - 150°)/2=15°，选C．
3. 如图1-3-1，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE=______．
答案：22.5°
解析：∵正方形ABCD中，∠CBD=45°，BC=CD．∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=(180° - 45°)/2=67.5°，∠BCD=90°，∴∠DCE=∠BCD - ∠BCE=90° - 67.5°=22.5°．
4. 正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是______．
答案：8
解析：正方形面积=1/2×对角线²=1/2×4²=8．
5. 如图1-3-2，在正方形ABCD中，AB=2．若以CD边为底边向正方形ABCD外作等腰直角三角形DCE，连接BE，则BE的长为______．
答案：√10
解析：过E作EF⊥BC交BC延长线于F，∵△DCE是等腰直角三角形，CD=2，∴CE=DE，∠DCE=90°，∴∠ECF=45°，CF=EF=√2/2×CE．∵CD=2，∴CE=√2，CF=EF=1，∴BF=BC + CF=2 + 1=3，EF=1，∴BE=√(BF² + EF²)=√(3² + 1²)=√10．
6. 如图1-3-3，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)求∠AED的度数．
答案：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°．∵△EBC是等边三角形，∴BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，∴∠ABE=∠ABC - ∠EBC=30°，∠DCE=∠DCB - ∠ECB=30°，∴∠ABE=∠DCE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．
(2)∵AB=BC，BE=BC，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=(180° - 30°)/2=75°．同理∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90° - 75°=15°，∴∠AED=180° - 15° - 15°=150°．
二、拓展性作业
1. 如图1-3-4，边长为√3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D'，两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示的阴影部分)，则这个“蝶形风筝”的面积是______．
答案：3 - √3
解析：设B'C'与CD交于点E，连接AE，∵AD=AB'=√3，∠B'AD=30°，∠DAB=90°，∴∠B'AE=∠DAE=30°．在Rt△ADE中，AE=2DE，AD² + DE²=AE²，即(√3)² + DE²=(2DE)²，解得DE=1，∴△ADE的面积=1/2×√3×1=√3/2，两个全等三角形的面积=√3，正方形面积=3，∴阴影部分面积=3 - √3．
