新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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3. 对于任意实数$k$，关于$x$的方程$\frac{1}{2}x^{2}-(k + 5)x + k^{2}+2k + 25=0$的根的情况为( ).
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法判定
答案：B
解析：$\Delta=(k + 5)^{2}-4×\frac{1}{2}(k^{2}+2k + 25)=k^{2}+10k + 25 - 2k^{2}-4k - 50=-k^{2}+6k - 25=-(k - 3)^{2}-16\lt0$，没有实数根，选B。
4. 解方程：
(1)$2x^{2}+3x - 1=0$；
(2)$x^{2}-1=4x$；
(3)$x^{2}+5=4x$；
(4)$(x - 2)(x + 5)=18$.
答案：(1)$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
解析：$a = 2$，$b = 3$，$c=-1$，$\Delta=9 + 8=17$，$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$。
(2)$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$
解析：方程化为$x^{2}-4x - 1=0$，$a = 1$，$b=-4$，$c=-1$，$\Delta=16 + 4=20$，$x=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5}$。
(3)无实数根
解析：方程化为$x^{2}-4x + 5=0$，$\Delta=16 - 20=-4\lt0$，无实数根。
(4)$x_{1}=3$，$x_{2}=-6$
解析：方程化为$x^{2}+3x - 28=0$，$a = 1$，$b = 3$，$c=-28$，$\Delta=9 + 112=121$，$x=\frac{-3\pm11}{2}$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-7$（原解析有误，正确解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-7$）。
5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + k + 2=0$.
(1)若$k=-6$，求此方程的解；
(2)若该方程无实数根，求$k$的取值范围.
答案：(1)$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$
解析：当$k=-6$时，方程为$x^{2}-2x - 4=0$，$\Delta=4 + 16=20$，$x=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$（原解析有误，正确解得$x=1\pm\sqrt{5}$）。
(2)$k\gt - 1$
解析：$\Delta=4 - 4(k + 2)\lt0$，即$4 - 4k - 8\lt0$，$-4k\lt4$，解得$k\gt - 1$。
6. 关于$x$的一元二次方程为$(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1=0$.
(1)求出该方程的根；
(2)$m$为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
答案：(1)$x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}$，$x_{2}=1$
解析：$a=m - 1$，$b=-2m$，$c=m + 1$，$\Delta=4m^{2}-4(m - 1)(m + 1)=4$，$x=\frac{2m\pm2}{2(m - 1)}$，解得$x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}$，$x_{2}=1$。
(2)$m = 2$或$m = 3$
解析：$x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}=1+\frac{2}{m - 1}$，为正整数，则$m - 1=1$或$2$，$m = 2$或$3$。
