新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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二、拓展性作业
2. 如图1-2-15，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使AE=GE，连接CG，CF．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)只需添加一个条件，即______，可使四边形CGEF为矩形，请加以证明．
答案：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵E，F分别为OB，OD的中点，∴OE=1/2OB，OF=1/2OD，∴OE=OF．在△AOE和△COF中，OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△AOE≌△COF(SAS)．
(2)AC=BD
证明：由(1)得△AOE≌△COF，∴AE=CF，∠OAE=∠OCF，∴AE//CF．∵AE=GE，∴GE=CF，∴四边形CGEF是平行四边形．∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵E是OB中点，G是AE中点，∴EG=BE=OE，∴∠EGB=∠EBG，∠EOG=∠EGO．∵∠EGB + ∠EBG + ∠EOG + ∠EGO=180°，∴2∠EGB + 2∠EGO=180°，∴∠BGO=90°，∴∠CGF=90°，∴平行四边形CGEF是矩形．
3. 如图1-2-16，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF//BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=4，CF=3，求OC的长．
(2)连接AE，AF，问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
答案：(1)∵EF//BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF．∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF．∵∠ECF=∠OCE + ∠OCF=1/2∠ACB + 1/2∠ACD=90°，CE=4，CF=3，∴EF=√(4² + 3²)=5，∴OC=OE=1/2EF=2.5．
(2)当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵O是AC中点，∴OA=OC．∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
一、基础性作业
1. 有下列四个条件：①四边形的对角线互相平分；②四边形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线相等；④平行四边形的一个角是直角，其中能作为矩形的判定条件的是( ).
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
答案：B
解析：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，不是矩形判定条件；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形；③平行四边形对角线相等则是矩形；④平行四边形一个角是直角则是矩形，故③④正确，选B．
