新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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2. 如图2-3-8，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动，点Q运动到点B后停止移动，点P也随之停止移动.
(1)如果P，Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm²？
(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出移动的时间；若不存在，说明理由.
答案：(1)设$ t $秒后，△PCQ的面积为8cm²，根据题意得$\frac{1}{2}(6 - t)×2t=8$，整理得$t^{2}-6t + 8=0$，解得$t_{1}=2$，$t_{2}=4$，当$ t = 4 $时，$2t=8$，此时点Q运动到点B，符合题意，所以2秒或4秒后，可使△PCQ的面积为8cm².
(2)不存在，理由如下：△ABC的面积为$\frac{1}{2}×6×8 = 24$cm²，其一半为12cm²，设$ t $秒后，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，根据题意得$\frac{1}{2}(6 - t)×2t=12$，整理得$t^{2}-6t + 12=0$，$\Delta=36 - 48=-12\lt0$，所以方程没有实数解，即点P，Q在移动过程中，不存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.
3. 如图2-3-9，等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设点P的运动时间为$ t $（单位：s），△PCQ的面积为$ S $（单位：cm²）.
(1)求出$ S $关于$ t $的函数关系式.
(2)点P运动几秒后，$ S=S_{\triangle ABC} $？
(3)作PE⊥AC于点E，当点P，Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.
答案：(1)当$ 0\lt t\lt10 $时，$ AP = t $，$ CQ = t $，$ BP = 10 - t $，$ S=\frac{1}{2}CQ× BP=\frac{1}{2}t(10 - t)=-\frac{1}{2}t^{2}+5t$；当$ t\geq10 $时，$ AP = t $，$ CQ = t $，$ BP = t - 10 $，$ S=\frac{1}{2}CQ× BP=\frac{1}{2}t(t - 10)=\frac{1}{2}t^{2}-5t$，所以$ S=\begin{cases}-\frac{1}{2}t^{2}+5t(0\lt t\lt10)\\frac{1}{2}t^{2}-5t(t\geq10)\end{cases}$
(2)$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×10×10 = 50 $，当$ 0\lt t\lt10 $时，$-\frac{1}{2}t^{2}+5t = 50$，整理得$t^{2}-10t + 100=0$，$\Delta=100 - 400=-300\lt0$，方程无解；当$ t\geq10 $时，$\frac{1}{2}t^{2}-5t = 50$，整理得$t^{2}-10t - 100=0$，解得$t_{1}=5 + 5\sqrt{5}$，$t_{2}=5 - 5\sqrt{5}$（舍去），所以点P运动$5 + 5\sqrt{5}$秒后，$ S=S_{\triangle ABC} $.
(3)线段DE的长度不变，证明如下：过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F，因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=∠BCA=45°，则∠QCF=45°，所以△APE和△CQF都是等腰直角三角形，$ AE=\frac{\sqrt{2}}{2}AP=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，$ CF=\frac{\sqrt{2}}{2}CQ=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，$ AC=10\sqrt{2} $，$ EF=AC - AE + CF=10\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{2}t=10\sqrt{2} $，因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以PE//QF，$\frac{DE}{DF}=\frac{PE}{QF}$，$ PE=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，$ QF=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，所以$ PE = QF $，$ DE = DF $，$ DE=\frac{1}{2}EF=5\sqrt{2}$，即线段DE的长度不变，为$5\sqrt{2}$cm.
