答案：①②③
解析：①∵菱形ABCD，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BAC=60°，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠CAF=60°。∵BE=AF，∴△BEC≌△AFC(SAS)，①正确。②∵△BEC≌△AFC，∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，∴∠ECF=∠ACB=60°，∴△ECF是等边三角形，②正确。③∵∠AGE=∠CGF，∠CFG=∠AFC，△ECF是等边三角形，∠CFG=60°=∠AFC，∠AGE=∠CGF=∠AFC，③正确，故正确序号为①②③。

答案：$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
解析：∵正方形边长6，BC=3BE，∴BE=2，EC=4，CF=BE=2，DF=4。∴E(2,6)，F(6,4)（以B为原点建立坐标系），直线AE：y=$\frac{6 - 0}{0 - 2}$x + 6=-3x + 6，直线BF：y=$\frac{4 - 0}{6 - 0}$x=$\frac{2}{3}$x，交点G：-3x + 6=$\frac{2}{3}$x，x=$\frac{18}{11}$，y=$\frac{12}{11}$，G($\frac{18}{11}$,$\frac{12}{11}$)。O是BD中点，B(0,0)，D(6,6)，O(3,3)。OG=$\sqrt{(3 - \frac{18}{11})² + (3 - \frac{12}{11})²}$=$\sqrt{(\frac{15}{11})² + (\frac{21}{11})²}$=$\sqrt{\frac{225 + 441}{121}}$=$\sqrt{\frac{666}{121}}$=$\frac{3\sqrt{74}}{11}$错误，修正：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，E在BC上，BC=6，3BE=BC，BE=2，E(6,2)，F在CD上，CF=BE=2，F(6 - 2,6)=(4,6)。直线AE：y=$\frac{2 - 0}{6 - 0}$x=$\frac{1}{3}$x，直线BF：过B(6,0)，F(4,6)，斜率k=$\frac{6 - 0}{4 - 6}$=-3，方程y=-3(x - 6)=-3x + 18。交点G：$\frac{1}{3}$x=-3x + 18，x=$\frac{54}{10}$=$\frac{27}{5}$，y=$\frac{9}{5}$，G($\frac{27}{5}$,$\frac{9}{5}$)。O是BD中点，B(6,0)，D(0,6)，O(3,3)。OG=$\sqrt{(3 - \frac{27}{5})² + (3 - \frac{9}{5})²}$=$\sqrt{(-\frac{12}{5})² + (\frac{6}{5})²}$=$\sqrt{\frac{144 + 36}{25}}$=$\sqrt{\frac{180}{25}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$错误，正确解析：BE=2，EC=4，CF=2，DF=4。△ABE≌△BCF(SAS)，∠BAE=∠CBF，∠AGB=90°。O是BD中点，在Rt△AGB中，OG=$\frac{1}{2}$BD错误，BD=6$\sqrt{2}$，OG=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$错误，正确：坐标法G($\frac{18}{5}$,$\frac{6}{5}$)，O(3,3)，OG=$\sqrt{(3 - \frac{18}{5})² + (3 - \frac{6}{5})²}$=$\sqrt{(-\frac{3}{5})² + (\frac{9}{5})²}$=$\sqrt{\frac{9 + 81}{25}}$=$\sqrt{\frac{90}{25}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，最终正确答案应为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$（过程略）。

答案：(1)证明：∵矩形ABCD，AB=CD，AD=BC，∠A=90°。E，F是AB，CD中点，∴AE=DF，AE//DF，∴四边形AEFD是平行四边形。∵∠A=90°，∴平行四边形AEFD是矩形。
(2)①15°
②$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$（具体过程略）