新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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6. 如图1-1-9，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE = DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形。
答案：(1)证明：连接AC交BD于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA = OC，OB = OD.
又因为BE = DF，所以OB - BE = OD - DF，即OE = OF.
因为OA = OC，OE = OF，所以四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
(2)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB = ∠CBD.
又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD = ∠CBD，所以∠ABD = ∠ADB，所以AB = AD.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，即AC⊥EF.
又因为四边形AECF是平行四边形，所以四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
二、拓展性作业
1. 如图1-1-10，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD = 2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．给出下列结论：①EG = EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④四边形BEFG是菱形，其中正确的有______.（填序号）
答案：①②③.
理由如下：
因为四边形ABCD是平行四边形，BD = 2AD，BO = DO = $\frac{1}{2}$BD，所以BO = AD.
因为E，F分别是OC，OD的中点，所以EF∥CD，EF = $\frac{1}{2}$CD.
因为G是AB中点，四边形ABCD是平行四边形，AB = CD，AB∥CD，所以BG = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD = EF，BG∥EF，所以四边形BEFG是平行四边形.
因为AD = BO，E为OC中点，G为AB中点，可证EG = BE，所以平行四边形BEFG是菱形不成立，④错误.
因为BG = EF，BE = EG，EG = AE（可通过中点及平行四边形性质证明），所以EG = EF，①正确.
在△EFG和△GBE中，EF = BG，EG = BE，FG = GE，所以△EFG≌△GBE（SSS），②正确.
因为EF∥AB，所以∠GEF = ∠AGE，又因为EG = AE，所以∠AGE = ∠GAE，所以∠GAE = ∠GEF，即EA平分∠GEF，③正确.
2. 如图1-1-11，点A的坐标是(0，4)，点B的坐标是(8，0)，C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为______.
答案：分三种情况：
①当AB为菱形的边，且AB∥CD，AB = BC时：
因为A(0，4)，B(8，0)，所以AB = $\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{16 + 64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$.
设C(x，0)(x>0)，则BC = x - 8，所以x - 8 = 4\sqrt{5}，x = 8 + 4\sqrt{5}，此时D的坐标为(4\sqrt{5},4).
②当AB为菱形的边，且AB∥CD，BA = AC时：
设C(x，0)(x>0)，AC = $\sqrt{x^{2}+4^{2}}$，则$\sqrt{x^{2}+4^{2}}=4\sqrt{5}$，解得x = 8（舍去）或x = - 8（舍去）.
③当AB为菱形的对角线时：
设C(x，0)(x>0)，AB中点坐标为(4，2)，则$\frac{0 + x}{2}=4$，$\frac{4+0}{2}=2$，解得x = 8，此时D的坐标为(- 8，4).
综上，点D的坐标为(4\sqrt{5},4)或(- 8，4).
3. 如图1-1-12，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD，AD分别交于点G，H，连接OH.
(1)若AC⊥AB，OF = OC，求证：FG = CG；
(2)若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究平行四边形ABCD的边和角需要满足的条件。
答案：(1)证明：连接OG.
因为AC⊥AB，四边形ABCD是平行四边形，所以AC⊥CD，∠BAC = 90°.
因为OF = OC，EF⊥BD，所以OG = OC = OF（直角三角形斜边中线等于斜边一半）.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠HDO = ∠EBO.
在△DOH和△BOE中，$\begin{cases}∠HDO = ∠EBO \\ DO = BO \\ ∠DOH = ∠BOE\end{cases}$，所以△DOH≌△BOE（ASA），所以OH = OE.
因为EF⊥BD，所以∠OFG = ∠OCG = 90°.
在Rt△OFG和Rt△OCG中，$\begin{cases}OG = OG \\ OF = OC\end{cases}$，所以Rt△OFG≌Rt△OCG（HL），所以FG = CG.
(2)解：若四边形OCGH是菱形，则OG = CG = CH = OH.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠HDO = ∠EBO.
因为EF⊥BD，要使四边形OCGH是菱形，当∠ADC = 60°时，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠BCD = 120°，∠ABC = 60°.
又因为AD = BC，当AD = $\sqrt{3}$AB时，可满足相关条件（可通过三角函数及菱形性质进一步推导）.
所以平行四边形ABCD的边和角需要满足的条件是∠ABC = 60°，AD = $\sqrt{3}$AB.
