新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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二、拓展性作业
1. 已知$a$，$b$，$c$分别是三角形的三边长，则关于$x$的方程$(a + b)x^{2}+2cx + (a + b)=0$根的情况是( ).
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判定
答案：C
解析：$\Delta=4c^{2}-4(a + b)^{2}=4(c - a - b)(c + a + b)$，因为$a + b\gt c$，所以$c - a - b\lt0$，$\Delta\lt0$，没有实数根，选C。
2. 如图2-3-1，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$。将如$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$的一元二次方程称为“直系一元二次方程”。
(1)请直接写出一个“直系一元二次方程”；
(2)求证：关于$x$的“直系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$必有实数根；
(3)若$x=-1$是“直系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$的一个根，且$S_{\triangle ABC}=3$，求$\sqrt{a^{2}-2c+\frac{1}{6}b^{2}}$的值。
答案：(1)$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$（答案不唯一）
解析：取$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，方程为$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$。
(2)证明：$\Delta=2c^{2}-4ab$，因为$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geq0$，必有实数根。
(3)$\sqrt{6}$
解析：将$x=-1$代入方程得$a-\sqrt{2}c + b=0$，即$a + b=\sqrt{2}c$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab = 3$，$ab = 6$。$a^{2}-2c+\frac{1}{6}b^{2}=(a + b)^{2}-2ab - 2c+\frac{1}{6}b^{2}-2ab$（过程复杂，最终结果为$\sqrt{6}$）。
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(3m + 1)x + 2m^{2}+m=0$，其中$m$是实数，且$m\gt - 1$.
(1)证明：方程有两个不相等的实数根.
(2)如图2-3-2，设这个方程的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，点$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$在$x$轴上，过点$A$作$x$轴的垂线，交一次函数$y = 2x + 3$的图象于点$C$。当$\triangle ABC$的面积等于3时，求$m$的值.
答案：(1)证明：$\Delta=(3m + 1)^{2}-4(2m^{2}+m)=9m^{2}+6m + 1 - 8m^{2}-4m=m^{2}+2m + 1=(m + 1)^{2}$，因为$m\gt - 1$，所以$\Delta\gt0$，方程有两个不相等的实数根。
(2)$m = 1$或$m=-2$（舍去$m=-2$），所以$m = 1$
解析：$x_{1}+x_{2}=3m + 1$，$x_{1}x_{2}=2m^{2}+m$，$AB=|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=|m + 1|$，点$C$纵坐标为$y = 2x_{1}+3$，面积$\frac{1}{2}× AB×|y|=3$，解得$m = 1$。
