新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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1. 设一元二次方程$ x^{2}-6x + 4 = 0 $的两实数根分别为$ x_{1} $和$ x_{2} $，则$ x_{1}+x_{2}= $______，$ x_{1}\cdot x_{2}= $______.
答案：6，4
解析：根据根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}\cdot x_{2}=4$.
2. 一元二次方程$ x^{2}-5x + 6 = 0 $的一个实数根$ x_{1}=2 $，则另一个实数根$ x_{2}= $______.
答案：3
解析：根据根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=5$，$x_{2}=5 - 2=3$.
3. 如果关于$ x $的方程$ 2x^{2}-7x + m = 0 $的两实数根互为倒数，那么$ m $的值为( ).
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.-2
答案：A
解析：设方程的两实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{m}{2}$，因为两实数根互为倒数，所以$x_{1}\cdot x_{2}=1$，$\frac{m}{2}=1$，$m = 2$，此时$\Delta=49 - 16=33\gt0$，故选C.
4. 已知$ \alpha $，$ \beta $是方程$ 2x^{2}-3x - 1 = 0 $的两个实数根，则$(\alpha - 2)(\beta - 2)$的值是( ).
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{13}{2}$
C.3
D.$\frac{3}{2}$
答案：B
解析：$\alpha+\beta=\frac{3}{2}$，$\alpha\beta=-\frac{1}{2}$，$(\alpha - 2)(\beta - 2)=\alpha\beta - 2\alpha - 2\beta + 4=\alpha\beta - 2(\alpha+\beta)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=-\frac{1}{2}-3 + 4=\frac{1}{2}$，故选A.
5. 关于$ x $的一元二次方程$ x^{2}+2(m - 1)x + m^{2}=0 $的两个实数根分别为$ x_{1} $，$ x_{2} $，且$ x_{1}+x_{2}\gt0 $，$ x_{1}x_{2}\gt0 $，则$ m $的取值范围是( ).
A.$ m\leq\frac{1}{2} $
B.$ m\leq\frac{1}{2} $且$ m\neq0 $
C.$ m\lt1 $
D.$ m\lt1 $且$ m\neq0 $
答案：B
解析：$\Delta=4(m - 1)^{2}-4m^{2}=4 - 8m\geq0$，$m\leq\frac{1}{2}$，$x_{1}+x_{2}=-2(m - 1)\gt0$，$m\lt1$，$x_{1}x_{2}=m^{2}\gt0$，$m\neq0$，所以$m\leq\frac{1}{2}$且$m\neq0$，故选B.
6. 若$ x_{1}=\sqrt{3}-2 $是关于$ x $的二次方程$ x^{2}+ax + 1 = 0 $的一个根，则$ a = $______，该方程的另一个根$ x_{2}= $______.
答案：4，$-\sqrt{3}-2$
解析：设方程的另一个根为$x_{2}$，则$x_{1}x_{2}=1$，$x_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=-\sqrt{3}-2$，$x_{1}+x_{2}=-a$，$\sqrt{3}-2-\sqrt{3}-2=-a$，$-4=-a$，$a = 4$.
