新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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2．一元二次方程$x² - 1 = 0$的根为( )．
A．$x = 1$
B．$x = -1$
C．$x₁ = 1$，$x₂ = -1$
D．$x₁ = 0$，$x₂ = 1$
答案：C
方程$x² - 1 = 0$可变形为$x² = 1$，直接开平方得$x = ±1$，即$x₁ = 1$，$x₂ = -1$，故选C。
3．如果关于x的一元二次方程$k²x²-(2k + 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )．
A．$k＞-\frac{1}{4}$
B．$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
C．$k＜-\frac{1}{4}$
D．$k≥-\frac{1}{4}$且$k≠0$
答案：B
一元二次方程$k²x²-(2k + 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=(2k + 1)² - 4k²×1=4k + 1＞0$，解得$k＞-\frac{1}{4}$，且二次项系数$k²≠0$，即$k≠0$，所以k的取值范围是$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$，故选B。
4．某单位准备在院内一个长30 m、宽20 m的矩形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草．如图2-1，要使种植花草的面积为532 m²，那么小道的宽度应为 m．(注：所有小道的宽度相等，且每段小道的形状均为平行四边形)
答案：1
设小道的宽度为x m，两条纵向小道的面积为$2×20x = 40x$ m²，横向小道的面积为$30x$ m²，重叠部分面积为$2x²$ m²，小道总面积为$40x + 30x - 2x²=70x - 2x²$ m²。花园总面积为$30×20 = 600$ m²，种植花草面积为$600-(70x - 2x²)=532$，整理得$2x² - 70x + 68 = 0$，$x² - 35x + 34 = 0$，解得$x₁ = 1$，$x₂ = 34$（宽度不可能为34 m，舍去），所以小道的宽度应为1 m。
5．现定义运算“⊗”，对于任意实数a，b，都有$a⊗b = a² - 3a + b$，如：$3⊗5 = 3² - 3×3 + 5$．若$x⊗2 = 6$，则实数x的值是 ．
答案：4或-1
由定义可得$x⊗2=x² - 3x + 2 = 6$，整理得$x² - 3x - 4 = 0$，解得$x₁ = 4$，$x₂ = -1$，所以实数x的值是4或-1。
6．解方程：
(1)$x² - 8x - 1 = 0$；
(2)$2x² + x = 3$；
(3)$4(x + 2)²=(3x - 1)²$．
答案：(1) $x² - 8x - 1 = 0$，$x² - 8x = 1$，$x² - 8x + 16 = 17$，$(x - 4)² = 17$，$x - 4 = ±\sqrt{17}$，解得$x₁ = 4 + \sqrt{17}$，$x₂ = 4 - \sqrt{17}$。
(2) $2x² + x = 3$，$2x² + x - 3 = 0$，$(2x + 3)(x - 1)=0$，解得$x₁ = 1$，$x₂=-\frac{3}{2}$。
(3) $4(x + 2)²=(3x - 1)²$，$2(x + 2)=±(3x - 1)$，当$2(x + 2)=3x - 1$时，$2x + 4 = 3x - 1$，解得$x = 5$；当$2(x + 2)=-(3x - 1)$时，$2x + 4 = -3x + 1$，解得$x=-\frac{3}{5}$，所以方程的解为$x₁ = 5$，$x₂=-\frac{3}{5}$。
