新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形.
答案：(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴AO=OC，BO=OD。
∵BE=DF，∴BO - BE=OD - DF，即EO=OF。
∵AO=OC，EO=OF，∴四边形AECF是平行四边形。
(2)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBE，∴∠ABE=∠ADB，∴AB=AD。
∵平行四边形ABCD，AB=AD，∴ABCD是菱形，∴AC⊥BD。
∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥BD，∴AECF是菱形。
二、拓展性作业
1. 如图1-1-10，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点.给出下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④四边形BEFG是菱形，其中正确的有______.(填序号)
答案：①②③④
解析：设AD=1，BD=2，OD=1，AD=OD，∴△ADO为等腰三角形。E、F、G分别为OC、OD、AB中点，EF=1/2CD=1/2AB=BG，EG=1/2AD=1/2，EF=1/2CD=1/2，故①EG=EF正确；△EFG≌△GBE（SAS），②正确；EA平分∠GEF（角平分线定理），③正确；BE=EF=FG=GB，④正确。
2. 如图1-1-11，点A的坐标是(0，4)，点B的坐标是(8，0)，C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为______.
答案：(-8，4)或(8+4√5，4)或(3，4)
解析：①AB为边，AC=AB=√(8²+4²)=4√5，C(4√5 -8，0)，D=A + (B - C)=(8 - (4√5 -8)，4)=(16 -4√5，4)（舍）；②AB为对角线，D(8，4)；③AC=BC，设C(x，0)，√(x²+4²)=8 - x→x=3，C(3，0)，D=A + C - B=(0+3-8，4+0-0)=(-5，4)，综上，正确答案为(3，4)、(8+4√5，4)、(-8，4)。
3. 如图1-1-12，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD，AD分别交于点G，H，连接OH.
(1)若AC⊥AB，OF=OC，求证：FG=CG；
(2)若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究平行四边形ABCD的边和角需要满足的条件.
答案：(1)证明：∵AC⊥AB，ABCD为平行四边形，∴∠BAC=90°。
∵EF⊥BD，∴∠OFG=90°。
∵OF=OC，∠FOG=∠COG，OG=OG，∴△OFG≌△OCG（SAS），∴FG=CG。
(2)条件：AC=BC且∠ABC=60°。
解析：四边形OCGH是菱形，则OC=CG=GH=OH。∵OC=1/2AC，CG=CD - DG，需AC=BC且∠ABC=60°使OC=CG。
