新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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3. 下列说法不正确的是( ).
A. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 一条对角线平分一组对角的矩形是正方形
答案：A
解析：A.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，原说法错误；B.对角线相等的菱形是正方形，正确；C.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；D.一条对角线平分一组对角的矩形是正方形，正确，故选A。
4. 矩形各角的平分线围成的四边形是( ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
答案：D
解析：矩形各角为90°，其平分线平分90°角为45°，相邻平分线相交成90°角，且根据矩形性质可证围成的四边形四边相等，所以是正方形，故选D。
5. 如图1-3-9，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED.求证：四边形ABCD是正方形.
答案：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，AD=BC。∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAD - ∠BAE=∠BCD - ∠BCE，即∠DAE=∠DCE。∵∠AED=∠CED，DE=DE，∴△AED≌△CED(AAS)，∴AD=CD。∵AD=CD且四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形。
6. 已知：如图1-3-10，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF=CE.
(1)求证：Rt△BDF≌Rt△CDE.
(2)问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由.
答案：(1)证明：∵D是BC中点，∴BD=CD。∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DFB=∠DEC=90°。在Rt△BDF和Rt△CDE中，BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)。
(2)当△ABC是等腰直角三角形，即∠A=90°且AB=AC时，四边形AEDF是正方形。理由：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE。∵∠DFA=∠DEA=∠A=90°，∴四边形AEDF是矩形。∵DF=DE，∴矩形AEDF是正方形。
1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件.下面给出了五组条件：①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD；⑤OB=OC，且OB⊥OC.其中正确的有 .(填序号)
答案：①②③⑤
解析：①AB=AD平行四边形是菱形，AC=BD菱形是正方形，正确；②AB⊥AD平行四边形是矩形，AC⊥BD矩形是正方形，正确；③AB⊥AD且AB=AD平行四边形是正方形，正确；④AB=BD且AB⊥BD无法判定是正方形，错误；⑤OB=OC平行四边形是矩形，OB⊥OC矩形是正方形，正确，故正确的有①②③⑤。
