新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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1. 一元二次方程$ x^{2}=4x $的根是( ).
A.$ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-2 $
B.$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=2 $
C.$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=4 $
D.$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=-4 $
答案：C
解析：$x^{2}=4x$，移项得$x^{2}-4x = 0$，因式分解得$x(x - 4)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=4$，故选C.
2. 已知一元二次方程$ x^{2}-10x + 24=0 $的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为( ).
A.6
B.10
C.12
D.24
答案：C
解析：设方程$x^{2}-10x + 24=0$的两个根为$a$，$b$，根据根与系数的关系得$ab = 24$，菱形的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×24 = 12$，故选C.
3. 解方程：
(1)$ x^{2}-3x + 2=0 $；
(2)$ 2x^{2}-3x - 2=0 $；
(3)$ x(x + 4)=8x + 12 $；
(4)$ 2(x - 3)^{2}=x^{2}-9 $.
答案：(1)因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$.
(2)因式分解得$(2x + 1)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=2$.
(3)整理得$x^{2}-4x - 12=0$，因式分解得$(x - 6)(x + 2)=0$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$.
(4)整理得$2(x - 3)^{2}-(x + 3)(x - 3)=0$，因式分解得$(x - 3)(2x - 6 - x - 3)=0$，即$(x - 3)(x - 9)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=9$.
4. 已知基本事实：“若$ ab = 0 $，则$ a = 0 $或$ b = 0 $”.
(1)试利用上述基本事实，解方程：$ 3x^{2}-x = 0 $；
(2)若实数$ m $，$ n $满足$ m^{4}+n^{4}+2m^{2}n^{2}-4 = 0 $，求$ m^{2}+n^{2} $的值.
答案：(1)因式分解得$x(3x - 1)=0$，所以$x = 0$或$3x - 1=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{1}{3}$.
(2)整理得$(m^{2}+n^{2})^{2}-4 = 0$，即$(m^{2}+n^{2}+2)(m^{2}+n^{2}-2)=0$，因为$m^{2}+n^{2}+2\gt0$，所以$m^{2}+n^{2}-2 = 0$，$m^{2}+n^{2}=2$.
5. 如果关于$ x $的一元二次方程$ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程$ x^{2}+x = 0 $的两个根是$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=-1 $，则方程$ x^{2}+x = 0 $是“邻根方程”.
(1)通过计算，判断下列方程是不是“邻根方程”.
①$ x^{2}-x - 12 = 0 $；
②$ x^{2}-9x + 20 = 0 $.
(2)已知关于$ x $的方程$ x^{2}+(m - 1)x - m = 0 $（$ m $是常数）是“邻根方程”，求$ m $的值.
答案：(1)①解方程$x^{2}-x - 12 = 0$，得$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$，$4-(-3)=7\neq1$，不是“邻根方程”；②解方程$x^{2}-9x + 20 = 0$，得$x_{1}=5$，$x_{2}=4$，$5 - 4=1$，是“邻根方程”.
(2)解方程$x^{2}+(m - 1)x - m = 0$，得$x_{1}=1$，$x_{2}=-m$，因为方程是“邻根方程”，所以$|1 - (-m)|=1$，即$|m + 1|=1$，$m + 1=1$或$m + 1=-1$，解得$m = 0$或$m=-2$.
