新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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1. 阅读下面的例题：解方程$ x^{2}-|x|-2 = 0 $.
当$ x\geq0 $时，原方程化为$ x^{2}-x - 2 = 0 $，解得$ x = 2 $或$ x=-1 $（不合题意舍去）；
当$ x\lt0 $时，原方程化为$ x^{2}+x - 2 = 0 $，解得$ x=-2 $或$ x = 1 $（不合题意舍去）.
所以原方程的根是$ x = 2 $或$ x=-2 $.
请参照例题解方程：
(1)$ x^{2}-|x|-6 = 0 $；
(2)$ x^{2}-|x - 5|-5 = 0 $.
答案：(1)当$ x\geq0 $时，原方程化为$x^{2}-x - 6 = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$（舍去）；当$ x\lt0 $时，原方程化为$x^{2}+x - 6 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$（舍去），所以原方程的根是$x = 3$或$x=-3$.
(2)当$ x\geq5 $时，原方程化为$x^{2}-(x - 5)-5 = 0$，即$x^{2}-x = 0$，解得$x_{1}=1$（舍去），$x_{2}=0$（舍去）；当$ x\lt5 $时，原方程化为$x^{2}-(5 - x)-5 = 0$，即$x^{2}+x - 10 = 0$，解得$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$，所以原方程的根是$x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$.
2. 阅读下面的例题：解方程$ x(x + 4)=6 $.
解：将原方程变形，得$[(x + 2)-2][(x + 2)+2]=6$，$(x + 2)^{2}-2^{2}=6$，$(x + 2)^{2}=6 + 2^{2}$，$(x + 2)^{2}=10$，直接开平方并整理，得$x_{1}=-2+\sqrt{10}$，$x_{2}=-2-\sqrt{10}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x + 2)(x + 6)=5$时写的解题过程.
解：原方程可变形，得$[(x + a)-b][(x + a)+b]=5$，$(x + a)^{2}-b^{2}=5$，$(x + a)^{2}=5 + b^{2}$，直接开平方并整理，得$x_{1}=c$，$x_{2}=d$.
上述过程中的$ a $，$ b $，$ c $，$ d $表示的数分别为______，______，______，______.
(2)请用“平均数法”解方程$(x - 4)(x + 2)=1$.
答案：(1)4，2，$-1+\sqrt{10}$，$-1-\sqrt{10}$
(2)原方程可变形为$[(x - 1)-3][(x - 1)+3]=1$，$(x - 1)^{2}-3^{2}=1$，$(x - 1)^{2}=1 + 9=10$，直接开平方得$x - 1=\pm\sqrt{10}$，解得$x_{1}=1+\sqrt{10}$，$x_{2}=1-\sqrt{10}$.
3. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0 $.
(1)求证：无论$ k $取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$ x_{1} $，$ x_{2} $，且$ k $与$\frac{x_{1}}{x_{2}}$都为整数，求$ k $所有可能的值.
答案：(1)$\Delta=(2k + 1)^{2}-4(k^{2}+k)=4k^{2}+4k + 1 - 4k^{2}-4k=1\gt0$，所以无论$ k $取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)解方程得$x_{1}=k$，$x_{2}=k + 1$，$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k}{k + 1}=1-\frac{1}{k + 1}$或$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k + 1}{k}=1+\frac{1}{k}$，因为$ k $与$\frac{x_{1}}{x_{2}}$都为整数，所以$ k + 1=\pm1$或$ k=\pm1$，当$ k + 1=1$时，$ k = 0 $，$\frac{x_{1}}{x_{2}}=0$；当$ k + 1=-1$时，$ k=-2 $，$\frac{x_{1}}{x_{2}}=2$；当$ k = 1 $时，$\frac{x_{1}}{x_{2}}=2$；当$ k=-1 $时，$\frac{x_{1}}{x_{2}}=0$，所以$ k $所有可能的值为$-2$，$-1$，$0$，$1$.
