新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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5. 图2-3-6是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第$n$行有$n$个点……容易发现10行的点数和是55，20行的点数和是210，30行的点数和是465，40行的点数和是820，50行的点数和是1275，60行的点数和是1830，70行的点数和是2485，80行的点数和是3240，90行的点数和是4095，100行的点数和是5050。
(1)请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276。
(2)这个三角点阵中前$n$行的点数和能是500吗？如果能，求出$n$的值；如果不能，说明理由。
答案：(1)22行
解析：点数和$\frac{n(n + 1)}{2}=276$，即$n^{2}+n - 552=0$，解得$n = 22$（$n=-23$舍去）。
(2)不能
解析：$\frac{n(n + 1)}{2}=500$，即$n^{2}+n - 1000=0$，$\Delta=1 + 4000=4001$，不是完全平方数，无整数解。
二、拓展性作业
1. 如图2-3-7，用一条长40 m的绳子围成矩形$ABCD$，设边$AB$的长为$x\space m$.
(1)若矩形$ABCD$的面积为$y\space m^{2}$，用含$x$的代数式表示$y$.
(2)当矩形$ABCD$的面积是$75\space m^{2}$时，求它的边长.
(3)矩形$ABCD$的面积可能是$120\space m^{2}$吗？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由.
答案：(1)$y=x(20 - x)=-x^{2}+20x$
解析：$AB=x$，$BC=20 - x$，面积$y=x(20 - x)$。
(2)长15 m，宽5 m
解析：$-x^{2}+20x=75$，即$x^{2}-20x + 75=0$，解得$x = 15$或$x = 5$，边长为15 m和5 m。
(3)不能
解析：$-x^{2}+20x=120$，即$x^{2}-20x + 120=0$，$\Delta=400 - 480=-80\lt0$，无实数根，面积不能为$120\space m^{2}$。
