《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(教材改编题)一组样本数据$x_1,x_2,x_3,·s,x_6$ $(x_1＜x_2＜x_3＜·s＜x_6)$的平均数为$4$,方差为$10$,则由这组样本数据得到的新样本数据$4$, $4,4,4,x_1,x_2,·s,x_6$的方差为 (A)

A.$6$
B.$\frac{16}{3}$
C.$8$
D.$\frac{20}{3}$

答案： 1.A[提示：由题意可知4,4,4,4的平均数为$\frac{4 × 4}{4}=4，$方差为
0,又因为数据$x_{1},x_{2},x_{3},·s,x_{6}(x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜·s＜x_{6})$的平均数为
4,方差为10,所以新样本数据$4,4,4,4,x_{1},x_{2},·s,x_{6}$的
平均数是$\frac{6}{10} × 4 + \frac{4}{10} × 4 = 4，$方差为$s^{2} = \frac{6}{10} × [10 + (4 - 4)^{2}] +$
$\frac{4}{10} × [0 + (4 - 4)^{2}] = 6.]$

2.(2025·江苏镇江高二下期中)如果五个数$a,0,1,2,3$的平均数为$1$,则它们的标准差为 (D)

A.$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{6}{5}$
C.$2$
D.$\sqrt{2}$

答案： 2.D[提示：因为五个数a,0,1,2,3的平均数为1，所以$\frac{a + 0 + 1 + 2 + 3}{5} = 1，$解得a = -1，所以它们的标准差为
$\sqrt{\frac{1}{5} × [(-1 - 1)^{2} + (0 - 1)^{2} + (1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}]} =$
$\sqrt{2}.]$

1.【题型一】已知样本数据$2,4,6,a$的平均数为$4$,则该样本的标准差是 (B)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 1.B[提示：因为2,4,6,a的平均数为4，所以$4 = \frac{2 + 4 + 6 + a}{4}，$解
得a = 4，所以该样本的标准差s =
$\sqrt{\frac{1}{4} × [(2 - 4)^{2} + (4 - 4)^{2} + (6 - 4)^{2} + (4 - 4)^{2}]} = \sqrt{2}.]$

2.【题型一】(2025·吉林长春八中高一下期中)[ 多选 ]下列说法正确的是 (BD)

A.$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$的第$60$百分位数是$6$
B.已知一组数据$2,3,5,x,8$的平均数为$5$,则这组数据的方差是$5.2$
C.用分层随机抽样时,个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D.若$x_1,x_2,·s,x_{10}$的标准差为$2$,则$3x_1+1$, $3x_2+1,·s,3x_{10}+1$的标准差是$6$

答案： 2.BD[提示：
∵10×60% = 6，
∴1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60
百分位数为第六位和第七位数的平均数，即$\frac{6 + 7}{2} = 6.5，$故A
错误.
∵数据2,3,5,x,8的平均数为5，
∴2 + 3 + 5 + x + 8 = 5×
5，解得x = 7，
∴数据2,3,5,7,8的方差是
$\frac{(2 - 5)^{2} + (3 - 5)^{2} + (5 - 5)^{2} + (7 - 5)^{2} + (8 - 5)^{2}}{5} =$
5.2，故B正
确.用分层随机抽样时，每层的个体被抽到的概率相同，故
C错误.
∵$x_{1},x_{2},·s,x_{10}$的标准差为2，方差为4，
∴$3x_{1} + 1,$
$3x_{2} + 1,·s,3x_{10} + 1$的方差为$3^{2}×4 = 36，$
∴标准差为6，故D
正确.]

3.【题型一】[ 多选 ]某人射箭$9$次,射中的环数依次为:$7,8,9,7,6,9,8,10,8$,关于这组数据,下列说法正确的是 (ABD)

A.这组数据的众数是$8$
B.这组数据的平均数是$8$
C.这组数据的中位数是$6$
D.这组数据的方差是$\frac{4}{3}$

答案： 3.ABD[提示：该组数据按从小到大的顺序排列为：6,7,7,8,
8,8,9,9,10,所以这组数据的众数为8，所以A正确；平均数
$\bar{x} = \frac{1}{9} × (6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10) = 8，$所以B正确；这组数
据的中位数是8，所以C错误；这组数据的方差是$s^{2} = \frac{1}{9} ×$
$[(6 - 8)^{2} + 2 × (7 - 8)^{2} + 3 × (8 - 8)^{2} + 2 × (9 - 8)^{2} + (10 - 8)^{2}] =$
$\frac{4}{3}，$所以D正确.]

4.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨九中高二上段考)若一组样本数据$x_1,x_2,·s,x_n$的平均数为$10$,另一组样本数据$2x_1+4,2x_2+4,·s$, $2x_n+4$的方差为$8$,则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是17,方差是54.

答案： 4.17 54[提示：由题意可知，数据$x_{1},x_{2},·s,x_{n}$的平均数为
10，所以$\bar{x} = \frac{1}{n}(x_{1} + x_{2} + ·s + x_{n}) = 10，$则$x_{1} + x_{2} + ·s + x_{n} = 10n，$
所以数据$2x_{1} + 4,2x_{2} + 4,·s,2x_{n} + 4$的平均数为$\bar{x'} =$
$\frac{1}{n}[(2x_{1} + 4) + (2x_{2} + 4) + ·s + (2x_{n} + 4)] = \frac{2}{n}(x_{1} + x_{2} + ·s + x_{n}) +$
$[(2x_{2} + 4) - (2\bar{x} + 4)]^{2} + ·s + [(2x_{n} + 4) - (2\bar{x} + 4)]^{2}\$}$ = \frac{4}{n} ×$
$[(x_{1} - 10)^{2} + (x_{2} - 10)^{2} + ·s + (x_{n} - 10)^{2}] = \frac{4}{n} × (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ·s + x_{n}^{2}) -$
$4×10^{2} = \frac{4}{n} × (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ·s + x_{n}^{2}) - 400 = 8，$所以$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ·s + x_{n}^{2} =$
102n.将两组数据合并后，得到新数据$x_{1},x_{2},·s,x_{n},2x_{1} + 4,$
$2x_{2} + 4,·s,2x_{n} + 4，$故其平均数$\bar{x''} = \frac{1}{2n}[(x_{1} + x_{2} + ·s + x_{n}) +$
$[(2x_{1} + 4) + (2x_{2} + 4) + ·s + (2x_{n} + 4)] = \frac{1}{2} ×$
$(x_{n} - 17)^{2}] + [(2x_{1} + 4 - 17)^{2} + (2x_{2} + 4 - 17)^{2} + ·s + (2x_{n} + 4 -$
$17)^{2}]\$}$ = \frac{1}{2n}[5(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ·s + x_{n}^{2}) - 86(x_{1} + x_{2} + ·s + x_{n}) + 458n] =$
$\frac{1}{2n}(5×102n - 86×10n + 458n) = 54.]$

5.【题型二】某学校对高一某班的同学进行了身高(单位:$cm$)调查,将得到的数据进行适当分组后(每组为左闭右开区间),画出如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中$m$的值;
(2)估计全班同学身高的中位数;
(3)估计全班同学身高的平均数及方差.
(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)

答案： 5.解：
(1)由图可得(m + 0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.040)×10 = 1，
解得m = 0.025.
(2)设全班同学身高的中位数为x cm，可
知x ∈ [165,175)，得0.20 + 0.05 + (x - 165)×0.04 = 0.5，解
得x = 171.25，故估计全班同学身高的中位数为171.25 cm.
(3)估计全班同学身高的平均数为150×0.20 + 160×0.05 +
170×0.40 + 180×0.25 + 190×0.10 = 170(cm)，估计全班同学
身高的方差为$(150 - 170)^{2}×0.20 + (160 - 170)^{2}×0.05 + 0×$
$0.40 + (180 - 170)^{2}×0.25 + (190 - 170)^{2}×0.10 = 150.$