《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1. 在四边形$ABCD$中，若$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$,则四边形$ABCD$的形状一定是
(A)

A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形

答案：
1.A[提示:如图所示，作以$AB$与$AD$为邻边的平行四边形$ABED$，根据向量加法的平行四边形法则可知$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，又$\because \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\therefore \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}$，即$E$点与$C$点重合，$\therefore$四边形$ABCD$为平行四边形。]

2. (教材改编题)在矩形$ABCD$中,$|\overrightarrow{AB}| = 4$,$|\overrightarrow{BC}| = 2$,则向量$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$的长度等于
(B)

A.$2\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.12
D.6

答案： 2.B[提示:$\because \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$，$\therefore |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}|=|2\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{4^{2}+2^{2}}=4\sqrt{5}$。]

3. (教材改编题)如图，平行四边形$ABCD$中,$P$是$CD$边上的一点,则(B)


A.$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PA}$
B.$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{DP}$
C.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$
D.$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{BA}$

答案： 3.B[提示:$\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PA}$，A错误；$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{DP}$，B正确；$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}$，C错误；$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{BA}$，D错误。]

4. [多选]下列各向量运算的结果,与$\overrightarrow{AC}$相等的有(AD)

A.$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$
B.$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{OC}$
C.$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$
D.$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$

答案： 4.AD[提示:对于A，$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}$，故A正确；对于B，$\because \overrightarrow{AO}-\overrightarrow{OC}=-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$，故B错误；对于C，$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}$，故C错误；对于D，$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AC}$，故D正确。]

5. 如图所示，向量$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{c}$,则向量$\overrightarrow{BD}$可以表示为
(C)

A.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
B.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
C.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$
D.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$

答案： 5.C[提示:向量$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{c}$，则向量$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$。]

6. 已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的位置如图所示,若图中每个小正方形的边长均为1,则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$等于(D)

A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.4
D.$2\sqrt{5}$

答案：
6.D[提示:如图所示，以$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为邻边作平行四边形$OACB$，其中$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，根据平行四边形法则及勾股定理可知$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{OD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$。]

7. 若两个非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,则
(D)

A.$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
B.$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$
C.$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$

答案： 7.D[提示:$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，$\therefore$以$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为邻边的平行四边形的两条对角线长度相等，$\therefore$该平行四边形为矩形，$\therefore \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$。]

8. (教材改编题)如图,$A,B,C$三点在半径为1的圆$O$上运动,且$AC\perp BC$,$M$是圆$O$外一点,$OM = 2$,则$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MCI}|$的最大值是
(C)


A.5
B.8
C.10
D.12

答案：
8.C[提示:连接$OA$，$OB$，$OC$，如图所示。因为$AC\perp BC$，所以$AB$为圆$O$的一条直径，$O$为$AB$的中点，所以$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})=2\overrightarrow{MO}$，所以$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MO}+2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})|=|4\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{OC}|\leq4|\overrightarrow{MO}|+2|\overrightarrow{OC}|=4×2 + 2×1 = 10$，当且仅当$M$，$O$，$C$共线且$\overrightarrow{MO}$，$\overrightarrow{OC}$同向时，等号成立，因此$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|$的最大值为$10$。]

1.【题型一】(2025·山东日照实验高级中学高一下诊断)化简以下各式：①$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$;
②$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}$;③$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}$;④$\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}$.结果为零向量的个数是
(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.C[提示:由向量的加、减法运算法则，可得:①$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=0$；②$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$；③$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD}=0$；④$\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PN}=0$。故零向量的个数为$3$。]

2.【题型一】(2025·北京市汇文中学教育集团高一下期中)化简$\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{DA}$等于
(C)

A.$2\overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{AD}$
C.0
D.$2\overrightarrow{DA}$

答案： 2.C[提示:由向量的线性运算，得$\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}=0$。]

3.【题型一、二】[多选]对于菱形$ABCD$,给出下列结论,其中正确的为
(BCD)

A.$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$
B.$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BCI}|$
C.$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BCI}|$
D.$|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}|$

答案： 3.BCD[提示:菱形中，向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|=2|\overrightarrow{AB}|$，$|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}|=2|\overrightarrow{BC}|$，且$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$，所以$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}|$，所以C结论正确；因为$|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{BD}|$，$|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{BD}|$，所以D结论正确。]