《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

5.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨六中高一下期中)将正三角形$ABC$(如图1)按斜二测画法在水平放置的平面上画出$\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$(如图2),则$\cos\angle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}$等于
(A)


A.$-\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

答案： 5.A[提示：根据题意，设正三角形的边长为$2a$，则$\vert OA\vert=2a×\sin60^{\circ}=\sqrt{3}a$，$\therefore$在直观图中，$\vert O'A'\vert=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\vert O'B'\vert=\vert O'C'\vert=\frac{1}{2}\vert B'C'\vert=a$.在$\triangle A'O'C'$中，$\angle A'O'C'=45^{\circ}$，$\vert A'C'\vert^{2}=\vert A'O'\vert^{2}+\vert C'O'\vert^{2}-2\vert A'O'\vert\vert C'O'\vert\cos\angle A'O'C'=\frac{7 - 2\sqrt{6}}{4}a^{2}$.在$\triangle A'O'B'$中，$\angle A'O'B'=135^{\circ}$，$\vert B'A'\vert^{2}=\vert A'O'\vert^{2}+\vert B'O'\vert^{2}-2\vert A'O'\vert\vert B'O'\vert\cos\angle A'O'B'=\frac{7 + 2\sqrt{6}}{4}a^{2}$；在$\triangle A'B'C'$中，$\cos\angle B'A'C'=\frac{\vert A'C'\vert^{2}+\vert B'A'\vert^{2}-\vert B'C'\vert^{2}}{2\vert A'C'\vert\vert B'A'\vert}=\frac{\frac{7 - 2\sqrt{6}}{4}a^{2}+\frac{7 + 2\sqrt{6}}{4}a^{2}-4a^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{5}$.]

6.【题型二】如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为$a$的空心正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的直观图中分离出来的.求直观图中$\triangle A_{1}C_{1}D_{1}$的面积.

答案： 6.解法1：$S_{\triangle A_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}D_{1}× D_{1}C_{1}×\sin\angle A_{1}D_{1}C_{1}=\frac{1}{2}×\frac{a}{2}× a×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}a^{2}$.解法2：因为原图等腰直角三角形的面积为$S=\frac{1}{2}×\frac{a}{2}× a$，且直观图面积$S'$满足$\frac{S'}{S}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以$S'=\frac{\sqrt{2}}{4}S=\frac{\sqrt{2}}{8}a^{2}$.

7.【题型二】用斜二测画法画正六棱柱(底面是边长是$1\ cm$的正六边形,侧面都为矩形,且侧棱长为$2\ cm$)的直观图.

答案：
7.解：
(1)画$x'$轴，$y'$轴，$z'$轴，使$\angle x'O'y'=45^{\circ}$(或$135^{\circ}$)，$\angle x'O'z'=90^{\circ}$，如图
(1).
(2)以点$O'$为中心，在$x'O'y'$平面内，画出正六边形的直观图$ABCDEF$.
(3)过$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$各点，分别作$z'$轴的平行线，并且在这些平行线上分别截取$AA'=BB'=CC'=DD'=EE'=FF'=2cm$.
(4)顺次连接$A'$，$B'$，$C'$，$D'$，$E'$，$F'$，$A'$，并去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图
(2).

有一块多边形的菜地,其水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是直角梯形(如图),$\angle ABC=\frac{\pi}{4},AB = AD = 10\ m,DC\perp BC$,则这块菜地的面积为$(50\sqrt{2}+200)$
$\qquad$ $m^{2}$.

答案： $(50\sqrt{2}+200)$[提示：$BC = 10\cos45^{\circ}+10=5\sqrt{2}+10(m)$，$CD = AB\sin45^{\circ}=5\sqrt{2}m$，$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(AD + BC)× CD=\frac{1}{2}×(5\sqrt{2}+20)×5\sqrt{2}=25 + 50\sqrt{2}(m^{2})$，因为$\frac{S_{直}}{S_{原}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以$S_{原}=(25 + 50\sqrt{2})×2\sqrt{2}=50\sqrt{2}+200(m^{2}).]$