《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

8. 四面体$A - BCD$中，$AB\perp$平面$BCD,CD\perp BC$，$CD = BC = 2$，若二面角$A - CD - B$的大小为$60^{\circ}$，则四面体$A - BCD$的外接球的体积为$\frac{20\sqrt{5}\pi}{3}$.

答案：
8.$\frac{20\sqrt{5}\pi}{3}$[提示：因为$AB\perp$平面$BCD$，$BD$，$DC\subset$平面$BCD$，所以$AB\perp CD$，$AB\perp BD$，而$BC\perp CD$，$AB\cap BC = B$，$AB$，$BC\subset$平面$ABC$，因此$CD\perp$平面$ABC$，又$AC\subset$平面$ABC$，所以$CD\perp AC$，所以$\angle ACB$是二面角$A - CD - B$的平面角，即$\angle ACB = 60^{\circ}$，则$AB = 2\sqrt{3}$，而$BD = 2\sqrt{2}$，有$AD = 2\sqrt{5}$。取$AD$的中点$O$，连接$OB$，$OC$，如图所示，由于$\triangle ACD$，$\triangle ABD$都是以$AD$为斜边的直角三角形，因此$OC = OB = OD = OA = \sqrt{5}$，即四面体$A - BCD$的外接球是以点$O$为球心，$R = \sqrt{5}$为半径的球，所以四面体$A - BCD$的外接球体积是$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{20\sqrt{5}\pi}{3}$。]

9. 已知正四棱锥$P - ABCD$的底面边长为6，高为4，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为$\frac{51}{20}$.

答案：
9.$\frac{51}{20}$[提示：如图所示，设底面中心为$G$，连接$PG$，则$G$为$AC$中点，$PG\perp$平面$ABCD$，球心$O$在正四棱锥的高$PG$上，取$BC$的中点$E$，连接$OA$，$PE$。$\because$正四棱锥的底面边长为$6$，高为$4$，$\therefore AG = 3\sqrt{2}$，$AP = PB = \sqrt{AG^{2}+PG^{2}}=\sqrt{34}$，在$\triangle AOG$中，$R^{2}=AG^{2}+(4 - R)^{2}$，解得$R = \frac{17}{4}$，在$\triangle PBE$中，$PE=\sqrt{PB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{34 - 9}=5$，$\therefore\sin\angle PBC=\frac{5}{\sqrt{34}}$。设$\triangle PBC$外接圆半径为$r$，由正弦定理得$2r=\frac{PC}{\sin\angle PBC}=\frac{\sqrt{34}}{\frac{5}{\sqrt{34}}}=\frac{34}{5}$，则$r = \frac{17}{5}$，$\therefore d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{(\frac{17}{4})^{2}-(\frac{17}{5})^{2}}=\frac{51}{20}$。]

10. 已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2},1$，则此三棱锥的外接球的体积为$\frac{7\sqrt{7}\pi}{6}$；此三棱锥的内切球的表面积为$(20 - 8\sqrt{6})\pi$.

答案：
10.$\frac{7\sqrt{7}\pi}{6}$　$(20 - 8\sqrt{6})\pi$[提示：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$1$，如图所示，即$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$S_{\triangle BOC}=1$，故$AO$，$BO$，$CO$两两垂直，所以$\frac{1}{2}· CO· BO = 1$，解得$CO = BO = \sqrt{2}$，所以$\frac{1}{2}· AO· BO=\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得$AO = \sqrt{3}$，所以三棱锥的外接球的半径满足$(2R)^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}$，解得$R^{2}=\frac{7}{4}$，故$R = \frac{\sqrt{7}}{2}$，故$V_{球}=\frac{4}{3}\pi·(\frac{\sqrt{7}}{2})^{3}=\frac{7\sqrt{7}\pi}{6}$。②$OC = OB = \sqrt{2}$，$OA = \sqrt{3}$，利用勾股定理得$AB = AC = \sqrt{5}$，$BC = 2$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$，利用等体积转换法，设内切球的半径为$r$，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×(S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}+S_{\triangle ABC})· r$，解得$r=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，故$S_{球}=4\pi· r^{2}=(20 - 8\sqrt{6})\pi$。]

11. (2025·黑龙江哈尔滨道外区高一下期中)
六氟化硫，化学式为$SF_{6}$，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为$\frac{32\pi}{3}$.

答案：
11.$\frac{32\pi}{3}$[提示：设正八面体内切球半径为$R$，给正八面体标出字母如图所示，连接$AC$和$BD$交于点$O$，因为$ED = EB$，$EA = EC$，所以$EO\perp BD$，$EO\perp AC$，又$AC\cap BD = O$，$AC$，$BD\subset$平面$ABCD$，所以$EO\perp$平面$ABCD$，由正八面体的对称性可知，$O$到八个面的距离相等，所以点$O$为内切球球心，该距离即为内切球半径，设内切球与平面$EBC$切于点$H$，则$OH\perp$平面$EBC$，所以$OH$为正八面体内切球半径，即内切球半径$R = OH$，因为正八面体的棱长为$4$，所以$EB = EC = BC = 4$，$OB = OC = 2\sqrt{2}$，$EO=\sqrt{EB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{16 - 8}=2\sqrt{2}$，所以$S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}BC·\sqrt{EB^{2}-(\frac{1}{2}BC)^{2}}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{16 - 4}=4\sqrt{3}$，$S_{\triangle OBC}=4$，因为$V_{E - OBC}=V_{O - EBC}$，所以$\frac{1}{3}× S_{\triangle OBC}× EO=\frac{1}{3}× S_{\triangle EBC}× OH$，所以$OH=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，即$R = \frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以正八面体内切球的表面积为$4\pi R^{2}=\frac{32\pi}{3}$。]

12.《九章算术·商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图所示，在鳖臑$A - BCD$中，$AB\perp$平面$BCD,BC\perp CD$，且$AB = BC = CD = 1$，求：
(1)四面体$A - BCD$的表面积；
(2)四面体$A - BCD$内切球的半径；
(3)四面体$A - BCD$外接球的表面积.

答案： 12.解：因为四面体$A - BCD$四个面都为直角三角形，$AB\perp$平面$BCD$，$BC\perp CD$，所以$AB\perp BD$，$AB\perp BC$，$AB\perp CD$，又$AB\cap BC = B$，所以$CD\perp$平面$ABC$，又$AC\subset$平面$ABC$，故$AC\perp CD$，所以$AC = \sqrt{2}$，$BD = \sqrt{2}$。
(1)四面体$A - BCD$的表面积为$S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}=1+\sqrt{2}$。
(2)设四面体$A - BCD$内切球的球心为$O$，内切球的半径为$r$，则$V_{A - BCD}=V_{O - ABC}+V_{O - ABD}+V_{O - ACD}+V_{O - BCD}=\frac{1}{3}r(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD})$，所以$r=\frac{3V_{A - BCD}}{S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}}=\frac{3×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$。
(3)因为$AB\perp BD$，$AC\perp CD$，所以该四面体$A - BCD$的外接球的直径为$AD$，又$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{3}$，故四面体$A - BCD$外接球的表面积$S = 4\pi(\frac{AD}{2})^{2}=3\pi$。