《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1. [多选]下列说法正确的是 (ABD)

A.相等向量的坐标相同
B.平面内一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面内一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应

答案： 1.ABD[提示：相等向量的坐标相同，故A正确;平面内一个向量对应于平面上唯一的坐标，是把向量的起点平移到坐标原点，对应终点的坐标，故B正确;平面直角坐标系内的一个坐标对应无穷多个向量，故C错误;平面内一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应，故D正确.]

2. [多选]在平面直角坐标系中，若点$A(2,3)$，$B(-3,4)$，如图所示，则下列说法正确的是 (AC)


A.$\overrightarrow{OA}=(2,3)$
B.$\overrightarrow{OB}=(3,4)$
C.$\overrightarrow{AB}=(-5,1)$
D.$\overrightarrow{BA}=(5,1)$

答案： 2.AC[提示:由题意可得$\overrightarrow{OA}=(2,3)$,$\overrightarrow{OB}=(-3,4)$,故A正确，B不正确;$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-3,4)-(2,3)=(-5,1)$,$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(5,-1)$,故C正确,D不正确.]

3. (教材改编题)已知平行四边形$ABCD$的三个顶点$A$，$B$，$C$的坐标分别是$(-2,1)$，$(-1,3)$，$(3,4)$，则向量$\overrightarrow{BD}$的坐标是 (B)

A.$(2,2)$　　
B.$(3,-1)$　　
C.$(-3,1)$　　
D.$(4,2)$

答案： 3.B[提示:
∵平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),
∴$\overrightarrow{BA}=(-2,1)-(-1,3)=(-1,-2)$,$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(3,4)-(-1,3)=(4,1)$,
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=(-1,-2)+(4,1)=(3,-1)$.]

1.【题型一】设点$A(1,2)$，$B(3,5)$，将向量$\overrightarrow{AB}$按向量$\boldsymbol{a}=(-1,-1)$平移后得到的$A'B'$为(B)

A.$(1,2)$　　
B.$(2,3)$　　
C.$(3,4)$　　
D.$(4,7)$

答案： 1.B[提示:
∵A(1,2),B(3,5),
∴$\overrightarrow{AB}=(2,3)$.由将向量$\overrightarrow{AB}$按向量$\boldsymbol{a}=(-1,-1)$平移后得到$\overrightarrow{A'B'}$知,$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{A'B'}$的方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是$\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}=(2,3)$.]

2.【题型二】若$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,2)$，则$\overrightarrow{CB}$等于 (A)

A.$(3,1)$　　
B.$(-3,-1)$
C.$(-3,1)$　　
D.$(3,-1)$

答案： 2.A[提示:因为$\overrightarrow{AB}=(2,3)$,$\overrightarrow{AC}=(-1,2)$,所以$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(2+1,3-2)=(3,1)$.]

3.【题型一】(原创题)已知$\boldsymbol{e}_{1}$与$\boldsymbol{e}_{2}$为互相垂直的单位向量，若$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e}_{1}-3\boldsymbol{e}_{2}$，$\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}$，将向量$\boldsymbol{a}$按向量$\boldsymbol{b}$平移后得到向量$\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{c}$在以$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$为基底的平面直角坐标系下的坐标为 (C)

A.$(5,-1)$　　
B.$(-1,-5)$　　
C.$(2,-3)$　　
D.$(3,2)$

答案： 3.C[提示:
∵$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e_1}-3\boldsymbol{e_2}$,
∴$\boldsymbol{a}$在以$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$为基底的平面直角坐标系下的坐标为(2,-3).又
∵$\boldsymbol{a}$平移至$\boldsymbol{c}$的过程中，方向与大小均未改变，
∴$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}$,
∴$\boldsymbol{c}$对应的坐标仍为(2,-3).]

4.【题型一、二】(原创题)在平面直角坐标系中，若$A(a_{1},b_{1})$，$B(a_{2},b_{2})$，$C(a_{3},b_{3})$，$D(a_{4},b_{4})$，且$a_{i}-a_{j}\neq0$，$b_{i}-b_{j}\neq0(i\neq j$，且$i$，$j\in\{1,2,3,4\})$，则$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$对应的坐标为 (D)

A.$(0,0)$　　
B.$(a_{2}-a_{1},b_{2}-b_{1})$
C.$(a_{3}-a_{1},b_{3}-b_{1})$　　
D.$(a_{4}-a_{1},b_{4}-b_{1})$

答案： 4.D[提示:$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}=(a_4,b_4)-(a_1,b_1)=(a_4-a_1,b_4-b_1)$.]

5.【题型一、二】(原创题)[多选]如图，已知$\{i,j\}$是一组基底. 对于向量$\boldsymbol{a}$，下列说法正确的是 (AC)


A.$\boldsymbol{a}$可以表示为$4i+3j$
B.$\boldsymbol{a}$可以表示为$3i+4j$
C.$\boldsymbol{a}$的坐标为$(4,3)$
D.$\boldsymbol{a}$的坐标为$(3,4)$

答案： 5.AC[提示:由题意知$\boldsymbol{a}=(5,4)-(1,1)=(4,3)=4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}$,$\boldsymbol{a}$可以表示为$4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}$,故A正确;$\boldsymbol{a}$的坐标为(4,3),故C正确.]

6.【题型一、二】(原创题)已知表示向量$\boldsymbol{a}$的有向线段$\overrightarrow{AB}$和始点$A$的坐标，求它的终点$B$的坐标.
(1)$\overrightarrow{AB}=(-2,1)$，$A(0,0)$；
(2)$\overrightarrow{AB}=(1,3)$，$A(-1,5)$；
(3)$\overrightarrow{AB}=(-2,-5)$，$A(3,7)$.

答案： 6.解:
(1)设B(x,y),$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}$.
(1)
∵$\overrightarrow{AB}=(-2,1)$,A(0,0),
∴(-2,1)=(x,y),
∴终点B的坐标为(-2,1).
(2)
∵$\overrightarrow{AB}=(1,3)$,A(-1,5),
∴(1,3)=(x+1,y-5),解得x=0,y=8,
∴终点B的坐标为(0,8).
(3)
∵$\overrightarrow{AB}=(-2,-5)$,A(3,7),
∴(-2,-5)=(x-3,y-7),解得x=1,y=2,
∴终点B的坐标为(1,2).

已知平面上三点的坐标分别为$A(-2,1)$，$B(-1,3)$，$C(3,4)$，求点$D$的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.

答案： 解法1:设D(x,y),根据平行四边形顶点的排列顺序不同，分以下三种情况讨论:①平行四边形四个顶点按照顺时针顺序A,B,C,D排列，则有$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$,即有$\begin{cases}x-3=-1,\\y-4=-2.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$故此时D点的坐标为(2,2).②平行四边形四个顶点按照顺时针顺序A,B,D,C排列，则有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$,即有$\begin{cases}x-3=1,\\y-4=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=4,\\y=6.\end{cases}$故此时D点的坐标为(4,6).③平行四边形的四个顶点按照顺时针顺序A,D,B,C排列，则有$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$,即有$\begin{cases}x+2=-4,\\y-1=-1.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-6,\\y=0.\end{cases}$故此时D点的坐标为(-6,0).综上可知D点的坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0).解法2:根据题设条件可知,满足题意的点D坐标有三个，设为$D_1(x_1,y_1)$,$D_2(x_2,y_2)$,$D_3(x_3,y_3)$,其中A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)恰为$\triangle D_1D_2D_3$三边的中点,根据中位线性质可知题设四边形恰为平行四边形.不妨设C为$D_1D_2$边的中点，B为$D_2D_3$边的中点，A为$D_3D_1$边的中点，则有$\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=3,\frac{y_1+y_2}{2}=4,\frac{x_2+x_3}{2}=-1,\frac{y_2+y_3}{2}=3,\frac{x_3+x_1}{2}=-2,\frac{y_3+y_1}{2}=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=2,\\y_1=2,\\x_2=4,\\y_2=6,\\x_3=-6,\\y_3=0.\end{cases}$故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0).