《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

5.【题型一】过三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的任意两条棱的中点作直线，其中与平面$ABB_{1}A_{1}$平行的直线共有6条.

答案： 5.6[提示:过三棱柱ABC - A₁B₁C₁的任意两条棱的中点作直线，记AC,BC,A₁C₁,B₁C₁的中点分别为E,F,E₁,F₁，则直线EF,E₁F₁,EE₁,FF₁,E₁F,EF₁均与平面ABB₁A₁平行，故符合题意的直线共有6条.]

6.【题型二】(2025·安徽师大附中高一下期中)如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$E$是棱$CC_{1}$上的一点，且$\frac{C_{1}E}{EC}=\frac{2}{3}$，$D$是棱$BC$上一点.若$A_{1}B//$平面$ADE$，则$\frac{BD}{BC}$的值为$\frac{5}{8}$.

答案：
6.$\frac{5}{8}$[提示:如图,连接A₁C,交AE于点F,连接FD,则平面A₁CB∩平面AED = FD,因为A₁B//平面ADE,且A₁B⊂平面A₁CB,所以A₁B//FD,所以在△CA₁B中,$\frac{CF}{CA₁}$ = $\frac{CD}{CB}$，因为$\frac{C₁E}{EC}$ = $\frac{2}{3}$,所以$\frac{CE}{CC₁}$ = $\frac{3}{5}$，由三棱柱性质得CC₁//AA₁，所以$\frac{CE}{AA₁}$ = $\frac{CF}{A₁F}$ = $\frac{CE}{CC₁}$ = $\frac{3}{5}$，所以$\frac{CF}{CA₁}$ = $\frac{3}{8}$，即$\frac{CD}{CB}$ = $\frac{3}{8}$，所以$\frac{BD}{BC}$ = $\frac{5}{8}$.]

7.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨三中高一下期中)如图，正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB=2,D$是$AB$的中点，$AC_{1}$与$A_{1}C$交于点$E$.
(1)求证：$BC_{1}//$平面$A_{1}DC$；
(2)若以$A_{1}D$为直径的球的表面积为$5\pi$，求三棱锥$B-A_{1}CD$的体积.

答案：
7.
(1)证明:如图,连接DE,因为D是AB的中点,E是A₁C的中点,所以DE//BC₁,又因为DE⊂平面A₁CD,BC₁⊄平面A₁CD,所以直线BC₁//平面A₁CD.
(2)解:若以A₁D为直径的球的表面积为5π,则π·A₁D² = 5π,所以A₁D = $\sqrt{5}$,所以AA₁ = $\sqrt{A₁D² - AD²}$ = $\sqrt{(\sqrt{5})^{2} - 1²}$ = 2,所以三棱锥B - A₁CD的体积为V₈ - A₁CD = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2² - 1²}$×2 = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

8.【题型一、二】如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为平行四边形，$E$为棱$PC$的中点，平面$ABE$与棱$PD$交于点$F$.
(1)求证：$PA//$平面$BDE$.
(2)求证：$F$为$PD$的中点.
(3)在棱$AB$上是否存在点$N$，使得$FN//$平面$BDE$？若存在，求出$\frac{AN}{NB}$的值；若不存在，说明理由.

答案：
8.
(1)证明:连接AC交BD于G,连接GE,如图,由四边形ABCD为平行四边形，知G为AC的中点,又E为棱PC的中点，所以GE为△PAC的中位线，则GE//PA.又GE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,故PA//平面BDE.
(2)证明:由题设知CD//AB,又AB⊂平面ABEF,CD⊄平面ABEF,所以CD//平面ABEF,又CD⊂平面PDC,平面PDC∩平面ABEF = EF,所以CD//EF.又E为棱PC的中点，即EF是△PDC的中位线，故F为PD的中点.
(3)解:存在N使得FN//平面BDE且$\frac{AN}{NB}$ = 1,理由如下:取AB的中点H,连接FH,由题设知BH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD且BH//CD,由
(2)知CD//EF且EF = $\frac{1}{2}$CD,所以BH//EF且BH = EF,即四边形BHFE为平行四边形，所以FH//BE.又BE⊂平面BDE,FH⊄平面BDE,所以FH//平面BDE,故所求N点即为H点，则AB上存在点N使得FN//平面BDE,且$\frac{AN}{NB}$ = 1.

下列说法正确的是(D)

A.若一条直线与一个平面平行，则这条直线就和这个平面内任意一条直线平行
B.平行于同一平面的两条直线平行
C.与两相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个相交平面
D.若平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行

答案： D[提示:若一条直线与一个平面平行,则这条直线就和平面内的任意一条直线平行或异面，故A错误;平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故B错误;与两相交平面的交线可能在平面内，故C错误.]