《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(2025·黑龙江哈尔滨三中高一下期中)若复数$z = \frac{2}{1 + \mathrm{i}}$，其中$\mathrm{i}$为虚数单位，则$z$等于 (B)

A.$1 + \mathrm{i}$
B.$1 - \mathrm{i}$
C.$- 1 + \mathrm{i}$
D.$- 1 - \mathrm{i}$

答案： 1.B[提示$:z=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1-i.]$

2.(2025·河北衡水中学模拟)已知复数$z = \frac{3 + \mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}} + 2\mathrm{i}$，则$|z|$等于 (B)

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 2.B[提示$:z=\frac{3+i}{1+2i}+2i=\frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}+2i=1-i+2i=1+i,$故
$\vert z\vert=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.]$

3.(2025·吉林长春十一高中高一下第一学程考试)已知$z = |\sqrt{3}\mathrm{i} - 1| + \frac{1}{1 + \mathrm{i}}$，则复数$z$的共轭复数$\overline{z}$为 (D)

A.$\frac{5}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}$
B.$3 + \mathrm{i}$
C.$\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}$
D.$\frac{5}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$

答案： 3.D[提示$:z=1+\sqrt{3}i-1+\frac{1}{1+i}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}+\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=$
$2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i,$故复数z的共轭复数$\overline{z}$为$\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i.]$

4.(2025·山东青岛二中月考)[多选]设$z_1$，$z_2 \in \mathrm{C}$，则下列关于复数$z_1$，$z_2$的说法正确的是 (ABD)

A.$z_1\overline{z_1} = |z_1|^2$
B.$|z_1 · z_2| = |z_1| · |z_2|$
C.若$z_1 + z_2 \in \mathrm{R}$，则$z_1$，$z_2$为共轭复数
D.若$|z_1| = 2$，则$|z_1 - 4\mathrm{i}|$的最大值为$6$

答案： 4.ABD[提示:设$z_1=a+bi,a,b\in\mathbf{R},$则$\overline{z_1}=a-bi,$则$z_1·\overline{z_1}=(a+$
$bi)(a-bi)=a^2+b^2=\vert z_2\vert^2,$故A正确;设$z_2=m+ni,m,n\in\mathbf{R},$
则$\vert z_1· z_2\vert=\vert(a+bi)·(m+ni)\vert=\vert am-bn+(an+bm)i\vert=$
$\sqrt{a^2m^2+b^2n^2+a^2n^2+b^2m^2},$而$\vert z_1\vert·\vert z_2\vert=\sqrt{a^2+b^2}·$
$\sqrt{m^2+n^2}=\sqrt{a^2m^2+a^2n^2+b^2m^2+b^2n^2}=\vert z_1z_2\vert,$故B正确$;z_1+$
$z_2=(a+m)+(b+n)i,$因为$z_1+z_2\in\mathbf{R},$所以b+n=0,即b=-n,
但a与m不一定相等,故C错误;若$\vert z_1\vert=2,$则复数z对应
的点的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆$,\vert z_1-4i\vert$表示圆
上的点与点(0,4)的距离,所以距离的最大值为4+2=6,故
D正确.]

5.(2025·黑龙江哈尔滨九中高一下月考)[多选]若复数$z = a + b\mathrm{i}(a,b \in \mathrm{R})(\mathrm{i}$为虚数单位)，则下列选项中的真命题为 (AB)

A.$z + \overline{z} \in \mathrm{R}$
B.若$a = b = 1$，则$z^4 = - 4$
C.若$a = b = 1$，则$\left|\frac{1}{z}\right| = 2$
D.$z\overline{z} = z^2$

答案： 5.AB[提示:由已知得$z+\overline{z}=a+bi+a-bi=2a\in\mathbf{R},A$正确;a=b=
1时$,z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i,z^4=(2i)^2=4i^2=-4,B$正确;a
=b=1时$,\frac{1}{z}=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i,\vert\frac{1}{z}\vert=\frac{\sqrt{2}}{2},C$错误$;\overline{zz}=(a+bi)(a-$
$bi)=a^2+b^2,(z^2)=(a^2+b^2+2abi)^2=a^4+b^4+2a^2b^2+4a^3bi+4ab^3i-$
$4a^2b^2=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^3bi+4ab^3i,D$错误.]

6.(南京大学强基)已知实系数方程$ax^2 + bx + c =$$0$的两根分别为$\alpha$和$\beta$，且满足$\alpha$是虚数，$\frac{\alpha^2}{\beta}$是实数，则$\frac{\alpha}{\beta}$ =

答案： $6.\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}[$提示:设$\alpha=\rcos\theta+i\sin\theta,\beta=\rcos(2\pi-\theta)+i·$
$\sin(2\pi-\theta),$此时$\frac{\alpha^2}{\beta}=r\cos3\theta+i\sin3\theta.$又$\alpha$为虚数,且$\frac{\alpha^2}{\beta}$为
实数,所以$3\theta=k\pi\Rightarrow\theta=\frac{k\pi}{3}(k\in\mathbf{Z}$且$k\neq3m,m\in\mathbf{Z}),$
$\cos2\theta+i\sin2\theta=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}]$
〈素养点评〉本题考查了实系数一元二次方程共轭复根
的性质,解题的关键在于结合韦达定理利用复数的三角形
式判断两根比值的辐角取值,体现了数学抽象、逻辑推理和
数学运算的核心素养.

1.(经典·全国甲)若复数$(a + \mathrm{i})(1 - a\mathrm{i}) = 2$，$a \in \mathrm{R}$，则$a$等于 (C)

A.$- 1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 1.C[提示:因为复数(a+i)(1-ai)=2,所以$2a+(1-a^2)i=2,$
即$\begin{cases}2a=2,\\1-a^2=0,\end{cases}$解得a=1.]

2.(2025·全国Ⅰ)$(1 + 5\mathrm{i})\mathrm{i}$的虚部为 (C)

A.$- 1$
B.$0$
C.$1$
D.$6$

答案： 2.C[提示:令z=(1+5i)i,则$z=5i^2+i=-5+i,$所以z的虚部为
1.]

3.(2025·全国Ⅱ)已知$z = 1 + \mathrm{i}$，计算$\frac{1}{z - 1}$等于 (A)

A.$- \mathrm{i}$
B.$\mathrm{i}$
C.$- 1$
D.$1$

答案： 3.A[提示:由题意得$\frac{1}{z-1}=\frac{1}{i}-\frac{i}{i^2}=-i.]$

4.(经典·全国Ⅰ)已知$z = \frac{1 - \mathrm{i}}{2 + 2\mathrm{i}}$，则$z - \overline{z}$等于 (A)

A.$- \mathrm{i}$
B.$\mathrm{i}$
C.$0$
D.$1$

答案： 4.A[提示$:z=\frac{1-i}{2+2i}=\frac{1}{2}·\frac{1-i}{1+i}=\frac{1}{2}·\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=-\frac{1}{2}i,$则$\overline{z}=$
$\frac{1}{2}i,$故$z-\overline{z}=-i.]$

5.(经典·全国乙)设$2(z + \overline{z}) + 3(z - \overline{z}) = 4 + 6\mathrm{i}$，则$z$等于

A.$1 - 2\mathrm{i}$
B.$1 + 2\mathrm{i}$
C.$1 + \mathrm{i}$
D.$1 - \mathrm{i}$

答案： 5.C[提示:设$z=a+bi(a,b\in\mathbf{R}),$则$\overline{z}=a-bi,\therefore2(a+bi+a-bi)+$
$3(a+bi-a+bi)=4+6i,\therefore4a+6bi=4+6i,\therefore\begin{cases}4a=4,\\6b=6,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases}\thereforez=1+i.]$

6.(经典·天津)已知$\mathrm{i}$是虚数单位，化简$\frac{5 + 14\mathrm{i}}{2 + 3\mathrm{i}}$的结果为4+i

答案： 6.4+i[提示$:\frac{5+14i}{2+3i}=\frac{(5+14i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{52+13i}{13}=4+i.]$

7.(经典·全国Ⅱ)在复平面内，$(1 + 3\mathrm{i})(3 - \mathrm{i})$对应的点位于 (A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 7.A[提示:(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,则在复平面内,(1
+3i)(3-i)对应的点的坐标为(6,8),位于第一象限.]

8.(经典·全国乙)$|2 + \mathrm{i}^2 + 2\mathrm{i}^3|$等于 (C)

A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$5$

答案： 8.C[提示$:\vert2+i\vert^2+2i^2\vert=\vert1-2i\vert=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}.]$

9.(2025·北京)已知复数$z$满足$\mathrm{i} · z + 2 = 2\mathrm{i}$，则$|z|$等于 (B)

A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$8$

答案： 9.B[提示:由i· z+2=2i,得i· z=-2+2i,则$z=\frac{-2+2i}{i}=$
$\frac{(-2+2i)(-i)}{-i^2}=2i+2i^2=2+2i,\vert z\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}.]$

10.(经典·全国甲)若$z = 1 + \mathrm{i}$，则$|\mathrm{i}z + 3\overline{z}|$等于 (D)

A.$4\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 10.D[提示:因为z=1+i,所以$iz+3\overline{z}=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,$
所以$\vert iz+3\overline{z}\vert=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}.]$

11.(2025·上海)已知复数$z$满足$z^2 = (\overline{z})^2$，$|z| \leq 1$，则$|z - 2 - 3\mathrm{i}|$的最小值是$2\sqrt{2}$

答案： $11.2\sqrt{2}[$提示:设$z=a+bi(a,b\in\mathbf{R}),$则$z^2=a^2-b^2+2abi,(z)^2=$
$a^2-b^2-2abi,$因为$z^2=(\overline{z})^2,$所以2ab=-2ab,即ab=0,又$\vert z\vert$
$\leq1,$所以z在复平面内对应的点的轨迹为$\begin{cases}-1\leq a\leq1,\\b=0\end{cases}$或
$\begin{cases}-1\leq b\leq1,\\a=0,\end{cases}\vert z-2-3i\vert$表示点(a,b)到点(2,3)的距离,由
点(a,b)的轨迹可知,当a=0,b=1时$,\vert z-2-3i\vert$有最小值,
最小值为$\sqrt{(0-2)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{2}.]$
〈素养点评〉本题考查了共轭复数、复数的模及轨迹问
题,解题的关键在于将复数问题转化为复平面上点的轨迹
问题,利用几何意义求解,体现了直观想象和数学运算的
核心素养.