《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.【题型一、二】下列命题中,真命题的个数是
⚠易错题(A)
①温度、速度、位移、功都是向量;
②零向量没有方向;
③向量的模一定是正数;
④直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.

A.0　　
B.1　　
C.2　　
D.3

答案： 1.A[提示：只有速度、位移是向量，温度和功没有方向，不是向量，①错误；零向量的模为0，即向量的模不一定为正数，③错误；直角坐标平面上的$x$轴、$y$轴只有方向，没有长度，故它们不是向量，④错误.]

2.【题型一、三、四】(2025·黑龙江哈尔滨道外区高一下期中)下列说法正确的是 (B)

A.两个单位向量一定相等
B.若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线,则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同

答案： 2.B[提示：对于$A$，单位向量的长度一定相等，但是方向不一定相同，故$A$错误；对于$B$，若$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$不共线，则$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$都为非零向量，故$B$正确；对于$C$，共线的单位向量长度必相等，方向可能相同也可能相反，故$C$错误；对于$D$，两个相等向量的起点不一定相同，故$D$错误.]

3.【题型一、二、三、四】(2025·黑龙江哈尔滨三十二中高一下期中)［多选］下列条件能使$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$成立的是 (ACD)

A.$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$
B.$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$
C.$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反
D.$|\boldsymbol{a}| = 0$或$|\boldsymbol{b}| = 0$

答案： 3.ACD[提示：当$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$时，向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$方向相同，故$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$成立，$A$正确；当$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$时，向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的方向不确定，故$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$不一定成立，$B$错误；当$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$方向相反时，$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$成立，故$C$正确；$0$与任意向量平行，故$D$正确.]

4.【题型三】如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F均为所在边的中点,则以下向量中,与$\overrightarrow{ED}$相等的是

(D)

A.$\overrightarrow{EF}$
B.$\overrightarrow{BE}$
C.$\overrightarrow{FB}$
D.$\overrightarrow{FC}$

答案： 4.D[提示：$\because E,D$分别是$AB,AC$的中点，$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线，$\therefore DE// CB$且$DE=\frac{1}{2}CB$，又$\because F$是$BC$的中点，$\therefore$与$\overrightarrow{ED}$相等的向量有$\overrightarrow{BF},\overrightarrow{FC}$.]

5.【题型二】已知在边长为2的菱形ABCD中,$\angle ABC = 60°$,则$|\overrightarrow{BD}|$等于 (D)

A.1　　
B.$\sqrt{3}$　　
C.2　　
D.$2\sqrt{3}$

答案： 5.D[提示：易知$AC\perp BD$，且$\angle ABD = 30^{\circ}$，设$AC$与$BD$交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AB = 1$.在$Rt\triangle ABO$中，易得$\vert\overrightarrow{BO}\vert=\sqrt{3}$，则$\vert\overrightarrow{BD}\vert = 2\vert\overrightarrow{BO}\vert = 2\sqrt{3}$.]

6.【题型二、三、四】［多选］下列说法不正确的是
⚠易错题(ABD)

A.若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$的长度相等且方向相同或相反
B.若向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| ＞ |\boldsymbol{b}|$,且方向相同,则$\boldsymbol{a} ＞ \boldsymbol{b}$
C.若$|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$可能是共线向量
D.若非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$平行,则A,B,C,D四点共线

答案： 6.ABD[提示：对于$A$，$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$只能说明$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的长度相等，不能判断它们的方向，故$A$错误；对于$B$，向量不能比较大小，故$B$错误；对于$C$，$\vert\boldsymbol{a}\vert\neq\vert\boldsymbol{b}\vert$只能说明$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故$C$正确；对于$D$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$平行，$A,B,C,D$四点不一定共线，故$D$错误.]

7.【题型三、四】(原创题)如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A,B,C,D,E,F,O中的任意一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有向量中,与$\overrightarrow{OA}$共线的向量有9个,与$\overrightarrow{OA}$相等的向量有3个.(不包含$\overrightarrow{OA}$)

答案： 7.9 3[提示：与$\overrightarrow{OA}$共线的向量有$\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{FE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA}$，共9个.与$\overrightarrow{OA}$相等的向量有$\overrightarrow{EF},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{CB}$，共3个.]

8.【题型一】(2025·四川乐山高三调研)如图,在矩形ABCD中,AB = 2BC = 2,M,N分别为边AB,CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中,长度相等、方向相反的向量共有39对.

答案： 8.39[提示：根据$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$，可得相等向量有3对；根据$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{NC}$，可得相等向量有6对；根据$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MC}$，可得相等向量有1对；根据$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{MD}$，可得相等向量有1对；根据$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，可得相等向量有1对.因此共有12对相等向量，而每对相等向量可产生两对相反向量，这样的相反向量共有24对，又每两个点产生的向量有一对相反向量，这样的相反向量共有$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$（对）.综上，相反向量共有39对.]

9.【题型一】中国象棋中规定:马走“日”,象走“田”.如图所示,在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,则可跳到$A_1$处,也可跳到$A_2$处,用向量$\overrightarrow{AA_1}$,$\overrightarrow{AA_2}$表示马走了“一步”.若马在B处,则以B为起点表示马走了“一步”的向量共有8个.

答案：
9.8[提示：马在$B$处有8条路可走，如图所示.]

10.【题型三、四】如图所示,O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.
(1)写出与$\overrightarrow{AO}$相等的向量.(不包含$\overrightarrow{AO}$)
(2)写出与$\overrightarrow{AO}$共线的向量.(不包含$\overrightarrow{AO}$)
(3)向量$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{CO}$是否相等?

答案： 10.解：
(1)与$\overrightarrow{AO}$相等的向量有$\overrightarrow{OC},\overrightarrow{BF},\overrightarrow{ED}$.
(2)与$\overrightarrow{AO}$共线的向量有$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BF},\overrightarrow{FB},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{ED},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{CO}$.
(3)$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{CO}$模相等，方向相反，所以$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{CO}$不是相等向量.