《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(2025·黑龙江哈尔滨九中高一下月考)已知$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$是平面内的一组基底，$\overrightarrow{OA}=4\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2,\overrightarrow{OB}=2\boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2,\overrightarrow{OC}=5\boldsymbol{e}_1 - 3\boldsymbol{e}_2$，若$A,B,C$三点共线，则实数$k$的值为
(C)

A.9
B.13
C.15
D.18

答案： 1.C[提示：因为$\overrightarrow{OA}=4\overrightarrow{e_{1}} + 3\overrightarrow{e_{2}}$，$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{e_{1}} + k\overrightarrow{e_{2}}$，$\overrightarrow{OC}=5\overrightarrow{e_{1}} - 3\overrightarrow{e_{2}}$，所以$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}=(2\overrightarrow{e_{1}} + k\overrightarrow{e_{2}})-(4\overrightarrow{e_{1}} + 3\overrightarrow{e_{2}})= - 2\overrightarrow{e_{1}} + (k - 3)\overrightarrow{e_{2}}$，$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}=(5\overrightarrow{e_{1}} - 3\overrightarrow{e_{2}})-(4\overrightarrow{e_{1}} + 3\overrightarrow{e_{2}})=\overrightarrow{e_{1}} - 6\overrightarrow{e_{2}}$，又因为$A$，$B$，$C$三点共线，所以存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$，即$-2\overrightarrow{e_{1}} + (k - 3)\overrightarrow{e_{2}}=\lambda(\overrightarrow{e_{1}} - 6\overrightarrow{e_{2}})$，因为$\overrightarrow{e_{1}}$，$\overrightarrow{e_{2}}$是平面内的一组基底，所以由平面向量基本定理可得$\begin{cases}\lambda = - 2,\\-6\lambda = k - 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda = - 2,\\k = 15.\end{cases}$]

2.设向量$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$不平行，$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2,\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2,\overrightarrow{CD}=2\boldsymbol{e}_1 - 3\boldsymbol{e}_2$，若$A,B,D$三点共线，则$k =$-8.

答案： 2.-8[提示：方法一：因为$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_{1}} + k\overrightarrow{e_{2}}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{e_{1}} + \overrightarrow{e_{2}}$，$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{e_{1}} - 3\overrightarrow{e_{2}}$，所以$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\overrightarrow{e_{1}} - 3\overrightarrow{e_{2}})-(\overrightarrow{e_{1}} + \overrightarrow{e_{2}})=\overrightarrow{e_{1}} - 4\overrightarrow{e_{2}}$，又$A$，$B$，$D$三点共线，则$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BD}$，即$2\overrightarrow{e_{1}} + k\overrightarrow{e_{2}}=\lambda(\overrightarrow{e_{1}} - 4\overrightarrow{e_{2}})$，则$\lambda = 2$，$k = - 8$。方法二：以$\overrightarrow{e_{1}}$，$\overrightarrow{e_{2}}$为基底建立广义坐标系，则$\overrightarrow{AB}=(2,k)$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2,-3)-(1,1)=(1,-4)$。$\because A$，$B$，$D$三点共线，$\therefore 2×(-4)-k×1 = 0$，$\therefore k = - 8$。]

3.如图所示，在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{QC},\overrightarrow{AR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$BQ$与$CR$相交于点$I$.
(1)用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$分别表示$\overrightarrow{BQ}$和$\overrightarrow{CR}$;
(2)若$\overrightarrow{AI}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，求实数$m$和$n$的值.

答案： 3.
(1)解：$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$。
(2)解法1：由于$B$，$I$，$Q$三点共线，则存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{BI}=\lambda\overrightarrow{BQ}$，即$\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\lambda(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$，则$\overrightarrow{AI}=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\lambda\overrightarrow{AC}$；
由于$R$，$I$，$C$三点共线，则存在实数$\mu$，使得$\overrightarrow{RI}=\mu\overrightarrow{CR}$，即$\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AR}=\mu(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$，则$\overrightarrow{AI}=(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\mu)\overrightarrow{AB}-\mu\overrightarrow{AC}$，则$\begin{cases}1 - \lambda=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\mu,\frac{1}{2}\lambda = -\mu,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda=\frac{4}{5},\\\mu = -\frac{1}{5},\end{cases}$则$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则$m=\frac{1}{5}$，$n=\frac{2}{5}$。解法2：由于$B$，$I$，$Q$三点共线，则存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AI}=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AQ}=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\frac{\lambda}{2}\overrightarrow{AC}$。由于$R$，$I$，$C$三点共线，则存在实数$\mu$，使得$\overrightarrow{AI}=(1 - \mu)\overrightarrow{AR}+\mu\overrightarrow{AC}=\frac{1 - \mu}{3}\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\begin{cases}1 - \lambda=\frac{1 - \mu}{3},\frac{\lambda}{2}=\mu,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda=\frac{4}{5},\\\mu=\frac{2}{5},\end{cases}$则$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则$m=\frac{1}{5}$，$n=\frac{2}{5}$。

4.(2025·黑龙江哈尔滨三中高一下期中)若点$D$在$\triangle ABC$的边$BC$上，且$\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{DB}$，$M$是$AD$的中点，$\overrightarrow{CM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$3\lambda+\mu$等于
(C)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{23}{10}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 4.C[提示：$\because\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{DB}$，$\therefore\overrightarrow{CD}=\frac{4}{5}\overrightarrow{CB}=\frac{4}{5}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})$。$\because M$为$AD$的中点，$\therefore\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{2}[\frac{4}{5}\overrightarrow{CA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}]=\frac{9}{10}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$。$\because\overrightarrow{CM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，$\therefore\lambda=\frac{2}{5}$，$\mu = -\frac{9}{10}$，$\therefore3\lambda+\mu=\frac{6}{10}-\frac{9}{10}=-\frac{3}{10}$。]

5.(2025·黑龙江哈尔滨德强高级中学高一下期中)如图，在平行四边形$ABCD$中，$DE=\frac{1}{2}EC$，$F$为$BC$的中点，$G$为$EF$上的一点，且$\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AD}$，则实数$m$的值为
(B)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{11}{16}$
C.$\frac{7}{9}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 5.B[提示：$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。设$\overrightarrow{EG}=\lambda\overrightarrow{EF}$，则有$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AE}+\lambda\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}+\lambda(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})=(1 - \frac{1}{2}\lambda)\overrightarrow{AD}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\lambda)\overrightarrow{AB}$，$\because\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AD}$，$\therefore\begin{cases}1 - \frac{1}{2}\lambda = m,\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\lambda=\frac{3}{4},\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{11}{16},\\\lambda=\frac{5}{8}.\end{cases}$]

6.已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$\vert\boldsymbol{a}\vert=1,\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{3},\vert\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\vert=3$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}$等于
(C)

A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 6.C[提示：因为向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\vert\boldsymbol{a}\vert = 1$，$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{3}$，$\vert\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\vert = 3$，所以$\vert\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+4\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{1 - 4\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+4×3}=3$，两边平方得$13 - 4\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=9$，解得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1$。]

7.如图所示，在矩形$ABCD$中，点$E$在边$AB$上，且$AE = 2EB$，$M$是线段$CE$上一动点.
(1)若$M$是线段$CE$的中点，$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$，求$m + n$的值；
(2)若$AB = 9,\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CE}=43$，求$(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})·\overrightarrow{MC}$的最小值.

答案： 7.解：
(1)因为$M$是线段$CE$的中点，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，所以$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB})=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，因为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$不共线，所以$m=\frac{5}{6}$，$n=\frac{1}{2}$，则$m + n=\frac{4}{3}$。
(2)在矩形$ABCD$中，$\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CE}=(-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})·(-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}^{2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AD}^{2}$。因为$AB = 9$，$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CE}=43$，所以$\frac{1}{3}×9^{2}+\overrightarrow{AD}^{2}=43$，解得$\vert\overrightarrow{AD}\vert = 4$，即$AD = BC = 4$。
在$Rt\triangle EBC$中，$EB = 3$，$BC = 4$，则$EC = 5$。因为$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，所以$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA})+2(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB})=3\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}$。设$\overrightarrow{ME}=t$，$0\leq t\leq5$，所以$(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})·\overrightarrow{MC}=-3\vert\overrightarrow{ME}\vert·\vert\overrightarrow{MC}\vert=-3t·(5 - t)=3(t^{2}-5t)=3(t-\frac{5}{2})^{2}-\frac{75}{4}$，$0\leq t\leq5$。因此，当且仅当$t=\frac{5}{2}$时，$(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})·\overrightarrow{MC}$有最小值$-\frac{75}{4}$，从而$(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})·\overrightarrow{MC}$的最小值为$-\frac{75}{4}$。

8.(2025·吉林长春八中高一下期中)已知向量$\boldsymbol{a}=(-1,1),\boldsymbol{b}=(1,3)$，若$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})$，则$\lambda$等于
(B)

A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 8.B[提示：若$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})$，则$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}+\lambda\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，$\because$向量$\boldsymbol{a}=(-1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,3)$，$\therefore2+\lambda×(-1×1 + 1×3)=0$，解得$\lambda = - 1$。]