《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(教材改编题)已知复数$z_1=6 - 5i,z_2=3 + 2i$，其中$i$为虚数单位，则$z_1 + z_2$等于 (A)

A.$9 - 3i$
B.$9 + 3i$
C.$9 - 7i$
D.$9 + 7i$

答案： 1.A[提示:由$z_1 = 6 - 5 i$,$z_2 = 3 + 2 i$,可得$z_1 + z_2 = 6 - 5 i + 3 + 2 i = 9 - 3 i$.]

2.(教材改编题)已知$z_1=2+i,z_2=1 - 2i$，则复数$z = z_2 - z_1$对应的点位于 (C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.C[提示:$\because z_1 = 2 + i$,$z_2 = 1 - 2 i$,$\therefore z = z_2 - z_1 = (1 - 2 i) - (2 + i) = -1 - 3 i$,$\therefore$复数$z = z_2 - z_1$对应的点的坐标为$(-1, -3)$,位于第三象限.]

3.计算.
(1)$(1 + 2i) + (7 - 11i) - (5 + 6i)$；
(2)$5i-[(6 + 8i)-(-1 + 3i)]$.

答案： 3.解:
(1)原式$=(1 + 7 - 5)+(2 - 11 - 6) i=3 - 15 i$.
(2)原式$= 5 i - (7 + 5 i) = -7$.

4.(教材改编题)已知复数$z=\cos\theta+i\sin\theta$($i$为虚数单位)，则$|z - 1|$的最大值为 (C)

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$

答案： 4.C[提示:由$z = \cos\theta + i\sin\theta$,可知$z$在复平面内对应的点在单位圆上,$\therefore |z - 1|$的最大值为$(-1,0)$到$(1,0)$的距离,等于$2$.]

5.在复平面内，复数$z$满足$|z|=2$，$i$为虚数单位，则$|z - 3 + 4i|$的最小值为3.

答案： 5.3[提示:设$z = a + b i(a,b \in \mathbf{R})$,$\because |z| = 2$,$\therefore a^2 + b^2 = 4$,表示以$(0,0)$为圆心,$2$为半径的圆,$|z - 3 + 4 i| = |a - 3 + (b + 4) i| = \sqrt{(a - 3)^2 + (b + 4)^2}$,表示圆上的点到点$(3, -4)$的距离,故圆上的点到点$(3, -4)$的最小值为$\sqrt{(0 - 3)^2 + (0 + 4)^2} - 2 = 3$.]

6.已知复数$z_1=-2+i,z_2=-1 + 2i$.
(1)求$z_1 - z_2$；
(2)在复平面内作出复数$z_1 - z_2$对应的向量.

答案：
6.解:
(1)$z_1 = -2 + i$,$z_2 = -1 + 2 i$,$z_1 - z_2 = -2 + i - (-1 + 2 i) = -1 - i$.
(2)如图所示,复平面内复数$z_1 - z_2$所对应的向量为$\overrightarrow{OZ}$.

1.【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨道外区高一下期中)复数$(4 + i)-(1 + 5i)$的虚部为 (A)

A.$-4$
B.$4$
C.$-4i$
D.$4i$

答案： 1.A[提示:复数$(4 + i) - (1 + 5 i) = 3 - 4 i$的虚部为$-4$.]

2.【题型一、二】(2025·黑龙江齐齐哈尔市联谊校高一下期中)已知复数$z_1=-3-i$，在复平面内，复数$z_1,z_2$对应的点分别为$A,B$，且点$A$与点$B$关于直线$y = x$对称，则$|z_1 + z_2|$等于 (A)

A.$4\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$

答案： 2.A[提示:由$z_1 = -3 - i$,得点$A(-3, -1)$.因为点$A$与点$B$关于直线$y = x$对称,所以$B(-1, -3)$,可得$z_2 = -1 - 3 i$,故$|z_1 + z_2| = | - 3 - i + ( - 1 - 3 i)| = | - 4 - 4 i| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = 4\sqrt{2}$.

3.【题型一、二】已知$z_1,z_2\in\mathbb{C}$，$|z_1 - z_2|=2\sqrt{2}$，$|z_1|=2,|z_2|=2$，则$|z_1 + z_2|$等于 (A)

A.$2\sqrt{2}$
B.$2$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 3.A[提示:方法1:设$z_1 = a + b i$,$z_2 = c + d i(a,b,c,d \in \mathbf{R})$,则$z_1 - z_2 = a - c + (b - d) i$.$\because |z_1| = 2$,$|z_2| = 2$,$\therefore a^2 + b^2 = 4$,$c^2 + d^2 = 4$,$\because |z_1 - z_2| = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ac - 2bd} = \sqrt{4 + 4 - 2(ac + bd)} = 2\sqrt{2}$,即$ac + bd = 0$,$\therefore |z_1 + z_2| = |a + c + (b + d) i| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ac + 2bd} = \sqrt{4 + 4 + 0} = 2\sqrt{2}$.方法2:设$z_1$对应的向量为$\boldsymbol{a}$,$z_2$对应的向量为$\boldsymbol{b}$,则以$|\boldsymbol{a}|$,$|\boldsymbol{b}|$,$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$为三边长的三角形满足关系$|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2$,即为直角三角形,则以向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$为邻边的平行四边形为矩形,故$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 2\sqrt{2}$,即$|z_1 + z_2| = 2\sqrt{2}$.]