《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(2025·黑龙江哈尔滨德强高级中学高一下期中)如图所示，在正四棱台$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为$\frac {76 \sqrt { 2 2 } } { 3 }$，点$E$为$AD$中点，过点$E$的平面$\alpha$与平面$D_{1}AC$平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为(D)

A.$4 \sqrt { 3 }$
B.$3 \sqrt { 2 }$
C.$2 \sqrt { 3 } + 3 \sqrt { 2 }$
D.$4 \sqrt { 3 } + 3 \sqrt { 2 }$

答案：
1.D[提示:如图所示，连接$A_1C_1$，过点$A_1$作$A_1H\perp AC$于点$H$，因为$A_1C_1=4\sqrt{2}$，$AC=6\sqrt{2}$，所以$AH=\sqrt{2}$，因为四棱台的高为$A_1H$，所以四棱台的体积为$\frac{1}{3}(4^2+6^2+4×6)× A_1H=\frac{76\sqrt{22}}{3}$，解得$A_1H=\sqrt{22}$，所以侧棱长$AA_1=\sqrt{AH^2+A_1H^2}=2\sqrt{6}$，过点$D_1$作$D_1F\perp AD$于点$F$，过点$A_1$作$A_1G\perp AD$于点$G$，由对称性可知$D_1F=A_1G=\frac{6 - 4}{2}=1$，$GF=A_1D_1=4$，所以$AF=6 - 1=5$，而$DD_1=AA_1=2\sqrt{6}$，所以$D_1F=\sqrt{24 - 1}=\sqrt{23}$，所以$AD_1=\sqrt{23+25}=4\sqrt{3}$，同理$CD_1=AD_1=4\sqrt{3}$，分别在棱$DC$，$DD_1$上取点$N$，$M$，使得$DN=NC$，$DM=MD_1$，易得$ME=NM=\frac{1}{2}AD_1=2\sqrt{3}$，$EN=\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}$，所以截面多边形的周长为$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$.

2.如图所示，已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为2，若$M$，$N$分别是$CC_{1}$，$A_{1}D_{1}$的中点，作出过$M$，$N$，$B$三点的截面，则这个截面的周长为$\frac{25}{6}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{13}}{3}$.

答案：
2.$\frac{25}{6}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{13}}{3}$[提示:如图所示，连接$BM$，因为平面$AA_1D_1D//$平面$BCC_1B_1$，所以截面与两平面的交线平行，过点$N$作$NF// BM$交$AA_1$于点$F$，连接$BF$，同理过点$M$作$ME// BF$交$C_1D_1$于$E$，连接$NE$，则面$BMENF$即为所求截面，延长$EN$，$BF$交于$Q$，延长$BM$，$AE$交于$P$，易知$P$在直线$B_1C_1$上，$Q$在直线$A_1B_1$上.因为$C_1M// BB_1$，$M$是$CC_1$的中点，所以$\triangle BCM\cong\triangle PC_1M$，可得$C_1P=BC=2$，因为$\triangle ND_1E\sim\triangle PC_1E$，所以$\frac{D_1E}{EC_1}=\frac{ND_1}{PC_1}=\frac{1}{2}$，所以$D_1E=\frac{1}{2}EC_1$，可得$D_1E=\frac{2}{3}$，$EC_1=\frac{4}{3}$，$A_1Q=D_1E=\frac{2}{3}$.因为$A_1F// BB_1$，所以$\frac{A_1F}{BB_1}=\frac{A_1Q}{QB_1}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}=\frac{1}{4}$，所以$A_1F=\frac{1}{2}$，$AF=\frac{3}{2}$，所以$BF=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$，$FN=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$NE=\sqrt{1^2+(\frac{2}{3})^2}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，$EM=\sqrt{(\frac{4}{3})^2+1^2}=\frac{5}{3}$，$BM=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，所以截面五边形$BMENF$的周长为$\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{13}}{3}+\frac{5}{3}+\sqrt{5}=\frac{25}{6}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{13}}{3}$.

3.在直角三角形$ABC$中，已知$AC = 2$，$BC = 2 \sqrt { 3 }$，$\angle C = 9 0 ^ { \circ }$，以$AC$所在直线为旋转轴将$\triangle ABC$旋转一周，$AB$，$BC$边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为8.

答案：
3.8[提示:如图所示，圆锥任意两条母线为$AB$，$AD$，则截面为等腰三角形$ABD$，$\therefore$截面面积为$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD×\sin\angle BAD$，由图可知当截面为圆锥轴截面时，$\angle BAD$最大，最大为$120°$，$\therefore\angle BAD\in(0°,120°]$，$\therefore\sin\angle BAD$最大值为$1$，$\because AB=AD=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4 + 12}=4$为定值，$\therefore$当$\sin\angle BAD$最大时截面面积最大，$\therefore$截面面积最大为$\frac{1}{2}×4^2×1 = 8$.

4.[多选]如图所示的是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，以下关系判断正确的是(BCD)


A.$AB// CD$
B.$GH$与$CD$相交
C.$EF// CD$
D.$AB$与$GH$异面

答案：
4.BCD[提示:根据题意，把平面图形还原为正方体如图所示，依次分析各选项:对于$A$，$AB$与$CD$是异面直线，$A$错误;对于$B$，$GH$与$CD$相交于点$C$，$B$正确;对于$C$，$EF// CD$，$C$正确;对于$D$，$AB$与$GH$异面，$D$正确.]

5.(2025·重庆市主城区七校联考高一下期末)如图1，在直角梯形$ABCD$中，$BC// AD$，$AB\perp AD$，$BC = 1 2$，$AD = 1 3$，$AB = 2 \sqrt { 3 }$，$E$为线段$BC$上的一点，$BE = 9$，过$E$作$AB$的平行线交$AD$于$F$，将矩形$ABEF$翻折至与梯形$ECDF$垂直得到六面体$BCE - ADF$，如图2，则六面体$BCE - ADF$的体积为(D)


A.$\frac { 3 3 \sqrt { 3 } } { 2 }$
B.$2 7 \sqrt { 3 }$
C.$3 0 \sqrt { 3 }$
D.$3 3 \sqrt { 3 }$

答案：
5.D提示:如图,过点$C$作$EF$的平行线交$DF$于点$G$，连接$AG$，$AC$，因为折叠前$BC// AD$，$AB\perp AD$，$EF// AB$，所以折叠前$EF\perp BC$且$EF\perp AD$，因为平面$ABEF\perp$平面$CDFE$，平面$ABEF\cap$平面$CDFE=EF$，$BE\perp EF$，$BE\subset$平面$ABEF$，所以$BE\perp$平面$CDFE$，同理，$AF\perp$平面$CDFE$.因为$CG// EF$，$EC// FG$，所以四边形$EFGC$为平行四边形，又$EF\perp EC$，所以平行四边形$EFGC$为矩形，则$\triangle GCD$为直角三角形，所以$V_{A - GCD}=\frac{1}{3}· S_{\triangle GCD}· AF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}×9 = 3\sqrt{3}$，又$CG// EF$，$EF// AB$，且$CG = EF = AB$，所以四边形$ABCG$为平行四边形，连接$BG$，则$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACG}$，$V_{D - ABCG}=2V_{D - ACG}=2V_{A - GCD}=6\sqrt{3}$，又$AF// BE$，$EC// FG$，$AF\cap FG = F$，$BE\cap EC = E$，所以平面$AFG//$平面$BEC$，易知几何体$AFG - BEC$为直三棱柱，$V_{AFG - BEC}=\frac{1}{2}×3×9×2\sqrt{3}=27\sqrt{3}$，故六面体$BCE - ADF$的体积为$V_{D - ABCG}+V_{AFG - BEC}=33\sqrt{3}$.

6.如图所示，在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = 1$，$BC = \sqrt { 3 }$，$AA_{1} = 2$，点$M$在棱$CC_{1}$上，当$MD_{1} + MA$取得最小值时，$CM$的长为$\frac{4}{3}$.

答案：
6.$\frac{4}{3}$提示:把长方体的侧面$DCC_1D_1$展开到长方形$ACC_1A_1$所在的平面,如图所示,易知$AC=\sqrt{1 + 3}=2$，当$A$，$M$，$D_1$在同一直线上时，$MD_1+MA$取得最小值，$A_1D_1=2 + 1=3$，$AA_1=2$，则$AD_1=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，$\therefore MD_1+MA$的最小值为$\sqrt{13}$，此时$\frac{CM}{DD_1}=\frac{AC}{AD_1}=\frac{2}{3}$，$\therefore CM=\frac{2}{3}×2=\frac{4}{3}$.

7.[多选]如图所示，$E$，$F$，$G$，$H$分别是空间四边形$ABCD$各边上的点(不与各边的端点重合)，且$AE:EB = AH:HD = m$，$CF:FB = CG:GD = n$，$AC\perp BD$，$AC = 4$，$BD = 2$.下列结论正确的是(AD)

A.$E$，$F$，$G$，$H$一定共面
B.若直线$EF$与$GH$有交点，则交点不一定在直线$AC$上
C.直线$AC//$平面$EFGH$
D.当$m = n$时，四边形$EFGH$的面积有最大值2

答案： 7.AD[提示:$\because AE:EB=AH:HD$，$\therefore EH// BD$，又$CF:FB=CG:GD$，$\therefore FG// BD$，$\therefore EH// FG$，即$E$，$F$，$G$，$H$四点共面，$A$正确;$\because\frac{EH}{BD}=\frac{AE}{AE + EB}=\frac{m}{m + 1}$，$\therefore EH=\frac{m}{m + 1}BD$，同理$FG=\frac{n}{n + 1}BD$，当$m\neq n$时，$EH\neq FG$，此时四边形$EFGH$为梯形，即直线$EF$与$GH$有交点，交点在平面$ABC$内，又在平面$ADC$内，而平面$ABC\cap$平面$ADC = AC$，$\therefore$直线$EF$与$GH$的交点在直线$AC$上，$B$错误，$C$错误;由$EH=\frac{m}{m + 1}BD$，$FG=\frac{n}{n + 1}BD$及$m = n$，得$EH = FG$，$\therefore$四边形$EFGH$为平行四边形，又$AC\perp BD$，故$EF\perp EH$，故平行四边形$EFGH$为矩形，由$EF// AC$，设$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}=x$，$\therefore EF = 4x$，而$EH// BD$，故$\frac{AE}{AB}=\frac{EH}{BD}=1 - x$，$\therefore EH = BD(1 - x)=2(1 - x)$，则矩形$EFGH$的面积$f(x)=EF· EH=-8x^2 + 8x(0\lt x\lt1)$，可得$f(x)_{\max}=f(\frac{1}{2})=2$，$D$正确.]

8.如图所示，在棱长为1的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，点$E$，$F$分别是棱$BC$，$CC_{1}$的中点，$P$是侧面$BCC_{1}B_{1}$内一点，若$A_{1}P//$平面$AEF$，则线段$A_{1}P$长度的取值范围是$\left[\frac{3\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{5}}{2}\right]$.

答案：
8.$\left[\frac{3\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{5}}{2}\right]$[提示:如图所示，分别取棱$BB_1$，$B_1C_1$的中点$M$，$N$，连接$MN$，连接$BC_1$，$\because M$，$N$，$E$，$F$均为所在棱的中点，$\therefore MN// BC_1$，$EF// BC_1$，$\therefore MN// EF$，又$MN\not\subset$平面$AEF$，$EF\subset$平面$AEF$，$\therefore MN//$平面$AEF$.连接$NE$，$A_1N$，$A_1M$，$\because AA_1// NE$，$AA_1 = NE$，$\therefore$四边形$AENA_1$为平行四边形，$\therefore A_1N// AE$，又$A_1N\not\subset$平面$AEF$，$AE\subset$平面$AEF$，$\therefore A_1N//$平面$AEF$，又$A_1N\cap MN = N$，$\therefore$平面$A_1MN//$平面$AEF$，$\because P$是侧面$BCC_1B_1$内一点，且$A_1P//$平面$AEF$，$\therefore P$必在线段$MN$上.在$ Rt\triangle A_1B_1M$中，$A_1M=\sqrt{A_1B_1^2+B_1M^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，同理，在$ Rt\triangle A_1B_1N$中，$A_1N=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\therefore\triangle A_1MN$为等腰三角形，$\therefore$当$P$在$MN$中点$O$时$A_1P\perp MN$，此时$A_1P$最短，$P$位于$M$，$N$处时$A_1P$最长，$A_1O=\sqrt{A_1M^2-OM^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{\sqrt{2}}{4})^2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$A_1M = A_1N=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\therefore$线段$A_1P$长度的取值范围是$\left[\frac{3\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{5}}{2}\right]$.