《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.［多选］若$\{ \boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}\}$是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是 (ABC)

A.$\boldsymbol{e_1} - \boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{e_2} - \boldsymbol{e_1}$
B.$2\boldsymbol{e_1} + \boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{e_1} + \frac{1}{2}\boldsymbol{e_2}$
C.$2\boldsymbol{e_2} - 3\boldsymbol{e_1}, 6\boldsymbol{e_1} - 4\boldsymbol{e_2}$
D.$\boldsymbol{e_1} + \boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{e_1} - \boldsymbol{e_2}$

答案： 1.ABC[提示:显然向量e₁+e₂与向量e₁ - e₂不共线,其余共线.]

2.［多选］已知向量$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$不共线，则下列各组向量中，能作为平面向量的一组基底的有 (ACD)

A.$\{ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}, 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\}$
B.$\{ 2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}, -2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\}$
C.$\{ 3\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}\}$
D.$\{ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}, 3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}\}$

答案： 2.ACD[提示:
∵向量a,b不共线,
∴A,C,D选项中的向量都不共线,可作为平面向量的一组基底.
∵2a - b = -(-2a + b),
∴(2a - b)//(-2a + b),
∴{2a - b,-2a + b}不能作为平面向量的一组基底.]

3.(教材改编题)若$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为 (B)
①$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$和$2026\boldsymbol{b} - 2026\boldsymbol{a}$；
②$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$；
③$3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$和$2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$；
④$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$和$3\boldsymbol{b} - 6\boldsymbol{a}$.

A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

答案： 3.B[提示:因为2026b - 2026a = -2026(a - b),所以a - b与2026b - 2026a共线,①不能作为一组基底向量;由$\frac{1}{1}$≠$\frac{1}{-1}$得a + b和a - b不共线,所以②能作为一组基底向量;由$-\frac{3}{2}$≠$-\frac{2}{-3}$,得3a - 2b和2a - 3b不共线,所以③能作为一组基底向量;因为3b - 6a = -3(2a - b),所以2a - b与3b - 6a共线,所以④不能作为一组基底向量.因此可以作为一组基底向量的是②③.]

4.(教材改编题)在$\triangle ABC$中，点$D$是$AB$的中点，且$\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{EC}$，用向量$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$表示向量$\overrightarrow{DE}$为 (D)

A.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
B.$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
C.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
D.$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

答案：
4.D[提示:如图,结合条件可知$\overrightarrow{DE}$ = $\overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{AD}$ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$ - $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$ = -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$ + $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$.]

5.如图所示，在正方形$ABCD$中，$E$为$BC$的中点，$F$为$AE$的中点，则$\overrightarrow{DF}$等于 (B)


A.$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$
B.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$
C.$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
D.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

答案： 5.B[提示:连接DE,根据题意得$\overrightarrow{DF}$ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow{DA}$ + $\overrightarrow{DE}$),$\overrightarrow{DE}$ = $\overrightarrow{DC}$ + $\overrightarrow{CE}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DA}$,
∴$\overrightarrow{DF}$ = $\frac{1}{2}$×($\frac{3}{2}$$\overrightarrow{DA}$ + $\overrightarrow{AB}$) = $\frac{3}{4}$$\overrightarrow{DA}$ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$ = -$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$.]

6.已知$\triangle ABC$中，$D$为$BC$的中点，$P, Q$分别为$AB, AC$上的点，$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AQ} = x\overrightarrow{AC}, PQ$交$AD$于点$O$，若$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，则$x$的值为 (A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$

答案：
6.A[提示:如图所示,设$\overrightarrow{PO}$ = y$\overrightarrow{OQ}$,则$\overrightarrow{AO}$ - $\overrightarrow{AP}$ = y($\overrightarrow{AQ}$ - $\overrightarrow{AO}$),$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$ - $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$ = y(x$\overrightarrow{AC}$ - $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$),($\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$y)$\overrightarrow{AD}$ = $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$ + xy$\overrightarrow{AC}$,又D为BC的中点,所以$\overrightarrow{AD}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$,所以$\frac{1}{2}$×($\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$y)$\overrightarrow{AB}$ + $\frac{1}{2}$×($\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$y)$\overrightarrow{AC}$ = $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$ + xy$\overrightarrow{AC}$,解得$\begin{cases} \frac{1}{2} × (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}y) = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} × (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}y) = xy \end{cases}$得$\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$.

7.(教材改编题)如图，在平行四边形$ABCD$中，$F$是$BC$的中点，$\overrightarrow{CE} = -2\overrightarrow{DE}$，若$\overrightarrow{EF} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD}$，则$x + y$等于 (C)

A.1
B.6
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 7.C[提示:根据题意,可得$\overrightarrow{EF}$ = $\overrightarrow{CF}$ - $\overrightarrow{CE}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$ - $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$ - $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$,结合$\overrightarrow{EF}$ = x$\overrightarrow{AB}$ + y$\overrightarrow{AD}$,可得x = $\frac{2}{3}$且y = -$\frac{1}{2}$,所以x + y = $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{6}$.]

1.【题型二】平行四边形$ABCD$中，点$E$满足$\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AE}, \overrightarrow{DE} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AD} (\lambda, \mu \in \mathbf{R})$，则$\lambda + \mu$等于 (D)

A.$\frac{1}{3}$
B.$-1$
C.1
D.$-\frac{1}{3}$

答案： 1.D[提示:由题意得$\overrightarrow{DE}$ = $\overrightarrow{DA}$ + $\overrightarrow{AE}$ = -$\overrightarrow{AD}$ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$ = -$\overrightarrow{AD}$ + $\frac{1}{3}$($\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$) = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$ - $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$,即λ = $\frac{1}{3}$,μ = -$\frac{2}{3}$,则λ + μ = -$\frac{1}{3}$.]

2.【题型一】设$\{ \boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}\}$是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是 (D)

A.$2\boldsymbol{e_2} - \boldsymbol{e_1}$和$\boldsymbol{e_2} - \frac{1}{2}\boldsymbol{e_1}$
B.$\boldsymbol{e_1} - 2\boldsymbol{e_2}$和$6\boldsymbol{e_2} - 3\boldsymbol{e_1}$
C.$-\boldsymbol{e_1} + 2\boldsymbol{e_2}$和$-\frac{2}{3}\boldsymbol{e_2} + \frac{1}{3}\boldsymbol{e_1}$
D.$\boldsymbol{e_1} + \boldsymbol{e_2}$和$\boldsymbol{e_1} - \boldsymbol{e_2}$

答案： 2.D[提示:对于A,因为2e₂ - e₁ = 2(e₂ - $\frac{1}{2}$e₁),所以2e₂ - e₁与e₂ - $\frac{1}{2}$e₁是共线向量,由平面向量基本定理可知,2e₂ - e₁和e₂ - $\frac{1}{2}$e₁不能作为平面向量的一组基底,故A错误;对于B,因为6e₂ - 3e₁ = -3(e₁ - 2e₂),所以e₁ - 2e₂与6e₂ - 3e₁是共线向量,由平面向量基本定理可知,e₁ - 2e₂和6e₂ - 3e₁不能作为平面向量的一组基底,故B错误;对于C,因为2e₂ - e₁ = -3(-$\frac{2}{3}$e₂ + $\frac{1}{3}$e₁),所以2e₂ - e₁与-$\frac{2}{3}$e₂ + $\frac{1}{3}$e₁是共线向量,由平面向量基本定理可知,2e₂ - e₁和-$\frac{2}{3}$e₂ + $\frac{1}{3}$e₁不能作为平面向量的一组基底,故C错误;对于D,因为$\frac{1}{1}$≠$\frac{1}{-1}$,所以e₁ + e₂与e₁ - e₂不共线,由平面向量基本定理可知,e₁ + e₂和e₁ - e₂可以作为平面向量的一组基底,故D正确.]

3.【题型二】在$\triangle ABC$中，$AB = 2, BC = 3\sqrt{3}$，$\angle ABC = 30°$，$AD$为$BC$边上的高，若$\overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}$，则$\frac{\lambda}{\mu}$等于 (A)

A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案：
3.A[提示:如图所示,由题意得BD = $\sqrt{3}$,
∴BD = $\frac{1}{3}$BC,
∴$\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\frac{1}{3}$($\overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{AB}$) = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$.又$\overrightarrow{AD}$ = λ$\overrightarrow{AB}$ + μ$\overrightarrow{AC}$,
∴λ = $\frac{2}{3}$,μ = $\frac{1}{3}$,
∴λ + μ = 2.