《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1. 下列说法中，正确的是 (D)

A.$\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向不是相同就是相反
B.若 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共线，则存在唯一实数 $\lambda$，使 $\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}$
C.若 $|\boldsymbol{b}| = 2|\boldsymbol{a}|$，则 $\boldsymbol{b} = \pm 2\boldsymbol{a}$
D.若 $\boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{a}$，则 $|\boldsymbol{b}| = 2|\boldsymbol{a}|$

答案： 1.D[提示：对于A，当$\lambda=0$时，$\lambda a=0$方向任意，故A不正确；对于B，当$a$为零向量，$b \neq 0$时，$b=\lambda a$不成立，故B不正确；对于C，$b$与$a$的方向不确定，所以$b= \pm 2a$不一定成立，故C错误；对于D，$b$与$2a$为相等向量，所以$\lvert b \rvert=2\lvert a \rvert$，故D正确.]

2. 已知实数 $m, n$ 和向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$，有下列说法：
①$m(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = m\boldsymbol{a} - m\boldsymbol{b}$;
②$(m - n)\boldsymbol{a} = m\boldsymbol{a} - n\boldsymbol{a}$;
③若 $m\boldsymbol{a} = m\boldsymbol{b}$，则 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$;
④若 $m\boldsymbol{a} = n\boldsymbol{a} (\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0})$，则 $m = n$.
其中，正确的说法是 (B)

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： 2.B[提示：①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当$m=0$时，$ma=mb=0$，但$a$与$b$不一定相等，故③不正确；④中，由$ma=na$得$(m - n)a = 0$.又因为$a \neq 0$，所以$m - n = 0$，即$m = n$，故④正确.]

3. (教材改编题)设向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 满足 $5(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) - 4(\boldsymbol{b} + 3\boldsymbol{a}) - \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}$，则 $\boldsymbol{c}$ 等于 (D)

A.$-\boldsymbol{a} + 22\boldsymbol{b}$
B.$7\boldsymbol{a} + 14\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a} - 22\boldsymbol{b}$
D.$-7\boldsymbol{a} - 14\boldsymbol{b}$

答案： 3.D[提示：$\because 5(a - 2b) - 4(b + 3a) - c = 0$，$\therefore c = - 7a - 14b$.]

4. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $AD$ 为 $BC$ 边上的中线，点 $E$ 在 $AD$ 上，且 $AE = 2ED$，则 $\overrightarrow{EB}$ 等于 (A)

A.$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
B.$\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
C.$\frac{7}{6}\overrightarrow{AB} - \frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$
D.$\frac{7}{6}\overrightarrow{AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$

答案：
4.A[提示：如图所示，因为$AD$为$BC$边上的中线，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，又点$E$在$AD$上，且$AE = 2ED$，所以$\overrightarrow{EA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3} × \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

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5. (教材改编题)已知 $\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a} - 8\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD} = 2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$，则 (C)

A.$C, B, D$ 三点共线
B.$A, B, C$ 三点共线
C.$A, B, D$ 三点共线
D.$A, C, D$ 三点共线

答案： 5.C[提示：因为$\overrightarrow{AB}=2a - 8b$，$\overrightarrow{CB}=a + 3b$，$\overrightarrow{CD}=2a - b$，所以$\overrightarrow{BC}=-a - 3b$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=3(a - 4b)$，$\overrightarrow{AB}=2a - 8b=2(a - 4b)$，所以$A$，$B$，$D$三点共线.]

6. (教材改编题)在 $\triangle ABC$ 中，若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$，且 $\overrightarrow{AD} = m\overrightarrow{AC} + n\overrightarrow{AB}$，则 $\frac{m}{n}$ 的值为 (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$

答案：
6.B[提示：画出图形，如图所示，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，又因为$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AB}$，所以$\begin{cases}m=\frac{2}{3}\\n=\frac{1}{3}\end{cases}$，所以$\frac{m}{n}=2$.

]

1.【题型一、四】已知 $P$ 是 $\triangle EFT$ 所在平面上的一点，$\overrightarrow{TF} = \lambda\overrightarrow{PE} + \overrightarrow{PF}$，$\lambda \in \mathbb{R}$，则点 $P$ 一定在 (B)

A.$\triangle EFT$ 内部
B.$ET$ 边所在直线上
C.$EF$ 边所在直线上
D.$FT$ 边所在直线上

答案： 1.B[提示：$\overrightarrow{TF}=\lambda\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PF} \Rightarrow \lambda\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{TF}-\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{TF}+\overrightarrow{FP}=\overrightarrow{TP}$，所以$P$，$E$，$T$三点共线，即点$P$一定在$ET$边所在直线上.]

2.【题型二、三】地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮. 地板砖品种非常多，图案也多种多样. 如图所示的是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若 $\overrightarrow{OD} = \boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{OI} = \boldsymbol{n}$，则 $\overrightarrow{AF}$ 等于 (B)


A.$(\frac{2\sqrt{3}}{3} + 1)\boldsymbol{m} + (\frac{4\sqrt{3}}{3} + 1)\boldsymbol{n}$
B.$(\frac{4\sqrt{3}}{3} + 1)\boldsymbol{m} + (\frac{2\sqrt{3}}{3} + 1)\boldsymbol{n}$
C.$(\frac{2\sqrt{3}}{3} + 1)\boldsymbol{m} + (\frac{4\sqrt{3}}{3} - 1)\boldsymbol{n}$
D.$(\frac{4\sqrt{3}}{3} + 1)\boldsymbol{m} + (\frac{2\sqrt{3}}{3} - 1)\boldsymbol{n}$

答案：
2.B[提示：如图所示，连接$OF$，$KA$，延长$AO$交$KD$于点$P$，根据对称性易知$OP \perp KD$，且$P$为$KD$的中点，则根据题意可得$\frac{AO}{OP}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\therefore AO=\frac{2\sqrt{3}}{3}OP$.$\because AF=AO+OK+KF$，又由对称性易知四边形$KFOA$为平行四边形，$\therefore KF=AO$，$\therefore AF=2AO+OK=\frac{4\sqrt{3}}{3}OP+OK=\frac{4\sqrt{3}}{3} × \frac{1}{2}(OK+OD)+OK=(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1)OK+\frac{2\sqrt{3}}{3}OD=(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1)(OI+OD)+\frac{2\sqrt{3}}{3}OD=(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1)m+(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1)n$.

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3.【题型二、三】(2025·黑龙江省实验中学高一下段考)在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $CD$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC}$ 等于 (A)

A.$\frac{5}{3}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$
B.$\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$
C.$2\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$
D.$2\overrightarrow{AB} + \frac{5}{3}\overrightarrow{AD}$

答案： 3.A[提示：因为$E$是$CD$边上靠近点$C$的三等分点，所以$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$，在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$.]

4.【题型一、四】已知 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $AB$ 上一点，满足 $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AD}$，且 $|\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{CD}|$，则 $\triangle ABC$ 为 (C)

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案：
4.C[提示：在$\triangle ABC$中，由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{AD}$，得$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$，$\therefore D$为$AB$的中点，且$\lvert \overrightarrow{AB} \rvert=2\lvert \overrightarrow{CD} \rvert$，如图所示，延长$CD$到$E$，使$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}$，则四边形$ACBE$是平行四边形.$\because \lvert \overrightarrow{AB} \rvert=\lvert \overrightarrow{CE} \rvert$，$\therefore$平行四边形$ACBE$是矩形，即$\triangle ABC$为直角三角形.

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