《2025年零失误分层训练高中数学必修第二册人教版黑吉辽内蒙古专版》

1.(教材改编题)已知向量$\boldsymbol{m}=(1,-5)$，$\boldsymbol{n}=$$(-4,6)$，则$\boldsymbol{m} · (\boldsymbol{n}-\boldsymbol{m})$等于 (A)

A.$-60$　
B.$-45$　
C.$34$　
D.$65$

答案： 1.A[提示:由向量$m=(1,-5),n=(-4,6)$，可得$n - m = (-5,11)$，故$m·(n - m)=1×(-5)+(-5)×11=-60$.]

2. 向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$在边长为$1$的正方形网格中的位置如图所示，则$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=$-5

答案：
2.-5[提示:将$a,b$平移至同一起点$O$，且$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$，并构建如图所示的直角坐标系，则$\overrightarrow{a}=(-1,2),\overrightarrow{b}=(-1,-3)$，故$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=(-1)×(-1)+2×(-3)=-5.$]

3. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,1)$，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$等于 (B)

A.$\sqrt{2}$　
B.$3\sqrt{2}$　
C.$5\sqrt{2}$　
D.$10\sqrt{2}$

答案： 3.B[提示:$\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(2,1)$，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,3)$，故$\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$.]

4.(教材改编题)已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=$$(2,k)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1,1)$，若$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$，则$k$等于 (A)

A.$-2$　
B.$-\frac{1}{2}$　
C.$\frac{1}{2}$　
D.$2$

答案： 4.A[提示:若$\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{b}\vert$，平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,k),\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(1,1)$，则$\overrightarrow{a}^{2}-\overrightarrow{b}^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})·(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=2 + k = 0$，解得$k = -2$.]

5. 在平面直角坐标系中，$A(3,4)$，$B(1,8)$，$C(-1,6)$，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影向量的坐标为 (C)

A.$\left( -\frac{16}{5}, \frac{8}{5} \right)$　
B.$\left( \frac{8}{5}, -\frac{4}{5} \right)$
C.$\left( -\frac{16}{5}, \frac{8}{5} \right)$　
D.$\left( -\frac{8}{5}, \frac{4}{5} \right)$

答案： 5.C[提示:$\overrightarrow{AB}=(-2,4),\overrightarrow{AC}=(-4,2)$，$\therefore\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=8 + 8 = 16$，$\overrightarrow{AC}^{2}=16 + 4 = 20$，$\therefore\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert^{2}}\overrightarrow{AC}=\frac{16}{20}×(-4,2)=(-\frac{16}{5},\frac{8}{5})$.]

6.(教材改编题)向量$\boldsymbol{a}=(0,2)$，$\boldsymbol{b}=(1,1)$，则$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为 (A)
A.$(1,1)$
B.$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$
C.$(0,1)$
D.$(0,2)$

答案： 6.A[提示:因为向量$\overrightarrow{a}=(0,2),\overrightarrow{b}=(1,1)$，所以$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{b}\vert^{2}}\overrightarrow{b}=\frac{2}{2}(1,1)=(1,1)$.]

7.(教材改编题)已知平面向量$\boldsymbol{a}=(1,3)$，$\boldsymbol{b}=$$(-2,1)$，则$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$等于 (A)

A.$\frac{\sqrt{2}}{10}$　
B.$\frac{\sqrt{2}}{5}$　
C.$-\frac{\sqrt{2}}{10}$　
D.$-\frac{\sqrt{2}}{5}$

答案： 7.A[提示:$\because\overrightarrow{a}=(1,3),\overrightarrow{b}=(-2,1)$，$\therefore\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，$\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=-2 + 3 = 1$，可得$\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert·\vert\overrightarrow{b}\vert}=\frac{1}{\sqrt{10}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.]

8. 已知$\boldsymbol{a}=(x,2x)$，$\boldsymbol{b}=(-3x,2)$，如果$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是钝角，则$x$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(-\frac{1}{3},0)\cup(\frac{4}{3},+\infty)$

答案： 8.$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(-\frac{1}{3},0)\cup(\frac{4}{3},+\infty)$[提示:设两个向量的夹角为$\theta$，依题意可知$\theta$为钝角，则$\begin{cases}\cos\theta＜0\\2x\neq - 6x^{2}\end{cases}$，即$\cos\theta＜0,x\neq0$且$x\neq-\frac{1}{3}$.由$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert·\vert\overrightarrow{b}\vert}＜0\Rightarrow\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=-3x^{2}+4x＜0$，解得$x＜0$或$x＞\frac{4}{3}$，因为$x\neq0$且$x\neq-\frac{1}{3}$，所以实数$x$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(-\frac{1}{3},0)\cup(\frac{4}{3},+\infty)$.]

9. [多选]下列向量$\boldsymbol{b}$与向量$\boldsymbol{a}=(3,4)$垂直的是 (BC)

A.$\boldsymbol{b}=(-4,-3)$　
B.$\boldsymbol{b}=(-4,3)$
C.$\boldsymbol{b}=(4,-3)$　
D.$\boldsymbol{b}=(4,3)$

答案： 9.BC[提示:对于$A,\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=3×(-4)+4×(-3)=-24\neq0$，故$A$不符合题意；对于$B,\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=3×(-4)+4×3=0$，故$B$符合题意；对于$C,\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=3×4+4×(-3)=0$，故$C$符合题意；对于$D,\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=3×4+4×3=24$，故$D$不符合题意.]

10.(教材改编题)已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(k-$$1,1)$，若向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$垂直，则$k=$-1

答案： 10.-1[提示:$\because$向量$\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(k - 1,1)$，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直，$\therefore\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=k - 1 + 2 = 0$，解得$k = -1$.]

1.【题型一】若$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(x,3)$，且$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=$ $4$，则$x$等于 (A)

A.$-2$　
B.$-\frac{1}{2}$　
C.$\frac{1}{2}$　
D.$10$

答案： 1.A[提示:根据题意，若$\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(x,3)$，则$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=x + 6 = 4$，解得$x = -2$.]

2.【题型五】(2025·黑龙江哈尔滨三中高一下期中)已知平面向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(x,1)$，若$\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，则$x$等于 (A)

A.$3$　
B.$2$　
C.$8$　
D.$-2$

答案： 2.A[提示:$\because$平面向量$\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(x,1)$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(1 - x,1)$，若$\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$，则$\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=1·(1 - x)+2×1 = 0$，解得$x = 3$.]

3.【题型二】设平面向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,$ $y)$，若$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$，则$|3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$等于 (A)

A.$\sqrt{5}$　
B.$\sqrt{6}$　
C.$\sqrt{17}$　
D.$\sqrt{26}$

答案： 3.A[提示:$\because\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$，$2×(-2)-1· y = 0$，解得$y = -4$，从而$3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,2)$，$\therefore\vert3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{5}$.]

4.【题型二、五】(2025·黑龙江哈尔滨师大附中高一下月考)若$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(x,1)$，且$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|$等于 (C)

A.$\sqrt{5}$　
B.$4$　
C.$5$　
D.$5\sqrt{2}$

答案： 4.C[提示:$\because\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(x,1)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，$\therefore\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=x + 2 = 0$，$\therefore x = -2$，$\therefore\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(-2,1)$.故$\vert\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}+4\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{b}^{2}}=\sqrt{5 + 0 + 4×5}=5$.]

5. (2025·黑龙江哈尔滨七十三中高一下月考)已知$A(2,-1)$，$B(5,1)$，$C(2,0)$，$D(1,1)$，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影向量为 (A)

A.$\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$　
B.$\left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$
C.$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$　
D.$\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

答案： 5.A[提示:由已知可得$\overrightarrow{AB}=(3,2),\overrightarrow{CD}=(-1,1)$，$\therefore\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}}{\vert\overrightarrow{CD}\vert^{2}}\overrightarrow{CD}=\frac{-1}{2}(-1,1)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.]

6.【题型四】(2025·吉林长春十一高中高一下第一学程考试)已知向量$\boldsymbol{f_1}=(1,0)$，$\boldsymbol{f_2}=(1,$$\sqrt{3})$，设$\boldsymbol{a}=4\boldsymbol{f_1}+\boldsymbol{f_2}$，$\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{f_1}-\boldsymbol{f_2}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为 (C)

A.$\frac{\pi}{6}$　
B.$\frac{\pi}{4}$　
C.$\frac{\pi}{3}$　
D.$\frac{2\pi}{3}$

答案： 6.C[提示:因为$\overrightarrow{f_1}=(1,0),\overrightarrow{f_2}=(1,\sqrt{3})$，所以$\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{f_1}+\overrightarrow{f_2}=(5,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{f_1}-\overrightarrow{f_2}=(2,-\sqrt{3})$，所以$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=10 - 3 = 7$，$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{25 + 3}=2\sqrt{7}$，$\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{4 + 3}=\sqrt{7}$，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert·\vert\overrightarrow{b}\vert}=\frac{7}{2\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{1}{2}$，又$\theta\in[0,\pi]$，所以$\theta=\frac{\pi}{3}$，即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$.]

7.【题型一、四】已知两点$A(1,0)$，$B(1,\sqrt{3})$，$O$为坐标原点，点$C$在第三象限，且$\angle AOC=\frac{5\pi}{6}$，设$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}(\lambda \in \mathbf{R})$，则$\lambda$等于 (A)

A.$-1$　
B.$1$　
C.$-2$　
D.$2$

答案： 7.A[提示:由题意可得$\lambda＜0$，$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}=(-2+\lambda,\sqrt{3}\lambda)$，且$\angle AOC=\frac{5\pi}{6}$，所以$\cos\angle AOC=\frac{\lambda - 2}{\sqrt{(\lambda - 2)^{2}+3\lambda^{2}}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$\lambda=-1$或$\lambda=\frac{1}{2}$.因为$\lambda＜0$，所以$\lambda=-1$.]

8.【题型四】已知向量$\boldsymbol{a}=(5,12)$，$\boldsymbol{b}=(2,0)$，$\boldsymbol{c}=$$\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$，若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，则$t$等于 (C)

A.$-\frac{11}{2}$　
B.$-\frac{13}{2}$　
C.$\frac{13}{2}$　
D.$\frac{11}{2}$

答案： 8.C[提示:由已知得$\overrightarrow{c}=(2t + 5,12)$，$\because\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\rangle=\langle\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\rangle$，$\therefore\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\rangle=\cos\langle\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\rangle$，$\therefore\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{c}\vert}=\frac{\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}}{\vert\overrightarrow{b}\vert\vert\overrightarrow{c}\vert}$，$\therefore\frac{10t + 25+144}{13}=\frac{4t + 10}{2}$，解得$t=\frac{13}{2}$.]